Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2279 / 4313
↖ ↑ ↗
← S  9.492408°
W 79.848633°		 ← 4 819.58 m → S  9.492408°
W 79.804688°		 →
↑
4 819.28 m
↓
↑
4 819.28 m
↓
S  9.535749°
W 79.848633°		 ← 4 818.97 m →
23 225 454 m²		 S  9.535749°
W 79.804688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27825927734375 y=0.52655029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27825927734375 × 213)
    floor (0.27825927734375 × 8192)
    floor (2279.5)     		tx = 2279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52655029296875 × 213)
    floor (0.52655029296875 × 8192)
    floor (4313.5)     		ty = 4313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2279 / 4313 ti = "13/2279/4313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2279/4313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2279 ÷ 213
    2279 ÷ 8192     		x = 0.2781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4313 ÷ 213
    4313 ÷ 8192     		y = 0.5264892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2781982421875 × 2 - 1) × π
    -0.443603515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39362155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.052978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.166436915480835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39362155} λ = -1.39362155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.166436915480835))-π/2
    2×atan(0.84667622741343)-π/2
    2×0.702561275286612-π/2
    1.40512255057322-1.57079632675     		φ = -0.16567378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39362155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.848633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.16567378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.492408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2279 KachelY 4313 -1.39362155 -0.16567378 -79.848633 -9.492408
    Oben rechts KachelX + 1 2280 KachelY 4313 -1.39285456 -0.16567378 -79.804688 -9.492408
    Unten links KachelX 2279 KachelY + 1 4314 -1.39362155 -0.16643022 -79.848633 -9.535749
    Unten rechts KachelX + 1 2280 KachelY + 1 4314 -1.39285456 -0.16643022 -79.804688 -9.535749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.16567378--0.16643022) × R
    0.000756439999999997 × 6371000     		dl = 4819.27923999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.16567378--0.16643022) × R
    0.000756439999999997 × 6371000     		dr = 4819.27923999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39362155--1.39285456) × cos(-0.16567378) × R
    0.000766990000000023 × 0.986307461512305 × 6371000     		do = 4819.58479255696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39362155--1.39285456) × cos(-0.16643022) × R
    0.000766990000000023 × 0.98618242958398 × 6371000     		du = 4818.97382487816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.16567378)-sin(-0.16643022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986307461512305-0.98618242958398)×R²
    abs(-1.39285456--1.39362155)×0.000125031928324693×R²
    0.000766990000000023×0.000125031928324693×6371000²
    0.000766990000000023×0.000125031928324693×40589641000000     		ar = 23225453.8317338m²