Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2279 / 2445
↖ ↑ ↗
← S 32.916485°
E 20.302734°		 ← 8 204.07 m → S 32.916485°
E 20.390625°		 →
↑
8 200.62 m
↓
↑
8 200.62 m
↓
S 32.990235°
E 20.302734°		 ← 8 197.22 m →
67 250 410 m²		 S 32.990235°
E 20.390625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5565185546875 y=0.5970458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5565185546875 × 212)
    floor (0.5565185546875 × 4096)
    floor (2279.5)     		tx = 2279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5970458984375 × 212)
    floor (0.5970458984375 × 4096)
    floor (2445.5)     		ty = 2445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2279 / 2445 ti = "12/2279/2445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2279/2445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2279 ÷ 212
    2279 ÷ 4096     		x = 0.556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2445 ÷ 212
    2445 ÷ 4096     		y = 0.596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556396484375 × 2 - 1) × π
    0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.19384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.608990372773193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35434956} λ = 0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.608990372773193))-π/2
    2×atan(0.543899727930426)-π/2
    2×0.498147639657202-π/2
    0.996295279314403-1.57079632675     		φ = -0.57450105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57450105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.916485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2279 KachelY 2445 0.35434956 -0.57450105 20.302734 -32.916485
    Oben rechts KachelX + 1 2280 KachelY 2445 0.35588354 -0.57450105 20.390625 -32.916485
    Unten links KachelX 2279 KachelY + 1 2446 0.35434956 -0.57578823 20.302734 -32.990235
    Unten rechts KachelX + 1 2280 KachelY + 1 2446 0.35588354 -0.57578823 20.390625 -32.990235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57450105--0.57578823) × R
    0.00128718000000005 × 6371000     		dl = 8200.62378000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57450105--0.57578823) × R
    0.00128718000000005 × 6371000     		dr = 8200.62378000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35434956-0.35588354) × cos(-0.57450105) × R
    0.00153397999999999 × 0.839463544319285 × 6371000     		do = 8204.06595303155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35434956-0.35588354) × cos(-0.57578823) × R
    0.00153397999999999 × 0.838763374870166 × 6371000     		du = 8197.22320640159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57450105)-sin(-0.57578823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.839463544319285-0.838763374870166)×R²
    abs(0.35588354-0.35434956)×0.00070016944911877×R²
    0.00153397999999999×0.00070016944911877×6371000²
    0.00153397999999999×0.00070016944911877×40589641000000     		ar = 67250410.2369777m²