Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22789 / 47363
↖ ↑ ↗
← S 62.275590°
W 54.816284°		 ← 284.15 m → S 62.275590°
W 54.810791°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
S 62.278145°
W 54.816284°		 ← 284.13 m →
80 737 m²		 S 62.278145°
W 54.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347740173339844 y=0.722709655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347740173339844 × 216)
    floor (0.347740173339844 × 65536)
    floor (22789.5)     		tx = 22789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722709655761719 × 216)
    floor (0.722709655761719 × 65536)
    floor (47363.5)     		ty = 47363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22789 / 47363 ti = "16/22789/47363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22789/47363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22789 ÷ 216
    22789 ÷ 65536     		x = 0.347732543945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47363 ÷ 216
    47363 ÷ 65536     		y = 0.722702026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347732543945312 × 2 - 1) × π
    -0.304534912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95672464
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722702026367188 × 2 - 1) × π
    -0.445404052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39927809990944
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95672464} λ = -0.95672464}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39927809990944))-π/2
    2×atan(0.246775046583412)-π/2
    2×0.241941117259551-π/2
    0.483882234519103-1.57079632675     		φ = -1.08691409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95672464} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.816284°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08691409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.275590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22789 KachelY 47363 -0.95672464 -1.08691409 -54.816284 -62.275590
    Oben rechts KachelX + 1 22790 KachelY 47363 -0.95662877 -1.08691409 -54.810791 -62.275590
    Unten links KachelX 22789 KachelY + 1 47364 -0.95672464 -1.08695869 -54.816284 -62.278145
    Unten rechts KachelX + 1 22790 KachelY + 1 47364 -0.95662877 -1.08695869 -54.810791 -62.278145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08691409--1.08695869) × R
    4.45999999998392e-05 × 6371000     		dl = 284.146599998976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08691409--1.08695869) × R
    4.45999999998392e-05 × 6371000     		dr = 284.146599998976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95672464--0.95662877) × cos(-1.08691409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465219211308926 × 6371000     		do = 284.150204636531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95672464--0.95662877) × cos(-1.08695869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465179731126633 × 6371000     		du = 284.12609062403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08691409)-sin(-1.08695869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465219211308926-0.465179731126633)×R²
    abs(-0.95662877--0.95672464)×3.94801822921065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94801822921065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94801822921065e-05×40589641000000     		ar = 80736.8885926374m²