Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22784 / 47364
↖ ↑ ↗
← S 62.278145°
W 54.843750°		 ← 284.13 m → S 62.278145°
W 54.838257°		 →
↑
284.15 m
↓
↑
284.15 m
↓
S 62.280701°
W 54.843750°		 ← 284.10 m →
80 730 m²		 S 62.280701°
W 54.838257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347663879394531 y=0.722724914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347663879394531 × 216)
    floor (0.347663879394531 × 65536)
    floor (22784.5)     		tx = 22784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722724914550781 × 216)
    floor (0.722724914550781 × 65536)
    floor (47364.5)     		ty = 47364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22784 / 47364 ti = "16/22784/47364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22784/47364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22784 ÷ 216
    22784 ÷ 65536     		x = 0.34765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47364 ÷ 216
    47364 ÷ 65536     		y = 0.72271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34765625 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.95720401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.4454345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.39937397370868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95720401} λ = -0.95720401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39937397370868))-π/2
    2×atan(0.246751388456254)-π/2
    2×0.241918817039312-π/2
    0.483837634078624-1.57079632675     		φ = -1.08695869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95720401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08695869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.278145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22784 KachelY 47364 -0.95720401 -1.08695869 -54.843750 -62.278145
    Oben rechts KachelX + 1 22785 KachelY 47364 -0.95710814 -1.08695869 -54.838257 -62.278145
    Unten links KachelX 22784 KachelY + 1 47365 -0.95720401 -1.08700329 -54.843750 -62.280701
    Unten rechts KachelX + 1 22785 KachelY + 1 47365 -0.95710814 -1.08700329 -54.838257 -62.280701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08695869--1.08700329) × R
    4.46000000000613e-05 × 6371000     		dl = 284.14660000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08695869--1.08700329) × R
    4.46000000000613e-05 × 6371000     		dr = 284.14660000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95720401--0.95710814) × cos(-1.08695869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465179731126633 × 6371000     		do = 284.12609062403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95720401--0.95710814) × cos(-1.08700329) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.465140250019024 × 6371000     		du = 284.101976046356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08695869)-sin(-1.08700329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465179731126633-0.465140250019024)×R²
    abs(-0.95710814--0.95720401)×3.94811076091517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94811076091517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94811076091517e-05×40589641000000     		ar = 80730.0365979342m²