Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2278 / 6563
↖ ↑ ↗
← S 72.854981°
W 79.892578°		 ← 1 440.50 m → S 72.854981°
W 79.848633°		 →
↑
1 439.97 m
↓
↑
1 439.97 m
↓
S 72.867931°
W 79.892578°		 ← 1 439.44 m →
2 073 515 m²		 S 72.867931°
W 79.848633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27813720703125 y=0.80120849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27813720703125 × 213)
    floor (0.27813720703125 × 8192)
    floor (2278.5)     		tx = 2278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80120849609375 × 213)
    floor (0.80120849609375 × 8192)
    floor (6563.5)     		ty = 6563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2278 / 6563 ti = "13/2278/6563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2278/6563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2278 ÷ 213
    2278 ÷ 8192     		x = 0.278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6563 ÷ 213
    6563 ÷ 8192     		y = 0.8011474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.44384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39438854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8011474609375 × 2 - 1) × π
    -0.602294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.89216530180286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39438854} λ = -1.39438854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89216530180286))-π/2
    2×atan(0.150745046673357)-π/2
    2×0.149618519852509-π/2
    0.299237039705018-1.57079632675     		φ = -1.27155929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39438854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27155929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.854981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2278 KachelY 6563 -1.39438854 -1.27155929 -79.892578 -72.854981
    Oben rechts KachelX + 1 2279 KachelY 6563 -1.39362155 -1.27155929 -79.848633 -72.854981
    Unten links KachelX 2278 KachelY + 1 6564 -1.39438854 -1.27178531 -79.892578 -72.867931
    Unten rechts KachelX + 1 2279 KachelY + 1 6564 -1.39362155 -1.27178531 -79.848633 -72.867931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27155929--1.27178531) × R
    0.00022602000000016 × 6371000     		dl = 1439.97342000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27155929--1.27178531) × R
    0.00022602000000016 × 6371000     		dr = 1439.97342000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39438854--1.39362155) × cos(-1.27155929) × R
    0.000766990000000023 × 0.294791234129309 × 6371000     		do = 1440.49538752373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39438854--1.39362155) × cos(-1.27178531) × R
    0.000766990000000023 × 0.29457525055005 × 6371000     		du = 1439.43998521293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27155929)-sin(-1.27178531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294791234129309-0.29457525055005)×R²
    abs(-1.39362155--1.39438854)×0.000215983579258505×R²
    0.000766990000000023×0.000215983579258505×6371000²
    0.000766990000000023×0.000215983579258505×40589641000000     		ar = 2073515.20285886m²