Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22773 / 47507
↖ ↑ ↗
← S 62.641344°
W 54.904175°		 ← 280.69 m → S 62.641344°
W 54.898682°		 →
↑
280.71 m
↓
↑
280.71 m
↓
S 62.643868°
W 54.904175°		 ← 280.67 m →
78 789 m²		 S 62.643868°
W 54.898682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347496032714844 y=0.724906921386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347496032714844 × 216)
    floor (0.347496032714844 × 65536)
    floor (22773.5)     		tx = 22773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724906921386719 × 216)
    floor (0.724906921386719 × 65536)
    floor (47507.5)     		ty = 47507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22773 / 47507 ti = "16/22773/47507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22773/47507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22773 ÷ 216
    22773 ÷ 65536     		x = 0.347488403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47507 ÷ 216
    47507 ÷ 65536     		y = 0.724899291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347488403320312 × 2 - 1) × π
    -0.305023193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95825862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724899291992188 × 2 - 1) × π
    -0.449798583984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41308392700002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95825862} λ = -0.95825862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41308392700002))-π/2
    2×atan(0.243391522873368)-π/2
    2×0.238749314163326-π/2
    0.477498628326651-1.57079632675     		φ = -1.09329770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95825862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.904175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09329770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.641344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22773 KachelY 47507 -0.95825862 -1.09329770 -54.904175 -62.641344
    Oben rechts KachelX + 1 22774 KachelY 47507 -0.95816275 -1.09329770 -54.898682 -62.641344
    Unten links KachelX 22773 KachelY + 1 47508 -0.95825862 -1.09334176 -54.904175 -62.643868
    Unten rechts KachelX + 1 22774 KachelY + 1 47508 -0.95816275 -1.09334176 -54.898682 -62.643868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09329770--1.09334176) × R
    4.40600000000124e-05 × 6371000     		dl = 280.706260000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09329770--1.09334176) × R
    4.40600000000124e-05 × 6371000     		dr = 280.706260000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95825862--0.95816275) × cos(-1.09329770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459559027877371 × 6371000     		do = 280.693033820581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95825862--0.95816275) × cos(-1.09334176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459519895664419 × 6371000     		du = 280.669132343497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09329770)-sin(-1.09334176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459559027877371-0.459519895664419)×R²
    abs(-0.95816275--0.95825862)×3.91322129522642e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91322129522642e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91322129522642e-05×40589641000000     		ar = 78788.9370978083m²