Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22771 / 47382
↖ ↑ ↗
← S 62.324106°
W 54.915161°		 ← 283.69 m → S 62.324106°
W 54.909668°		 →
↑
283.70 m
↓
↑
283.70 m
↓
S 62.326657°
W 54.915161°		 ← 283.67 m →
80 480 m²		 S 62.326657°
W 54.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347465515136719 y=0.722999572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347465515136719 × 216)
    floor (0.347465515136719 × 65536)
    floor (22771.5)     		tx = 22771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722999572753906 × 216)
    floor (0.722999572753906 × 65536)
    floor (47382.5)     		ty = 47382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22771 / 47382 ti = "16/22771/47382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22771/47382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22771 ÷ 216
    22771 ÷ 65536     		x = 0.347457885742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47382 ÷ 216
    47382 ÷ 65536     		y = 0.722991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347457885742188 × 2 - 1) × π
    -0.305084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95845037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722991943359375 × 2 - 1) × π
    -0.44598388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.401099702095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95845037} λ = -0.95845037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.401099702095))-π/2
    2×atan(0.24632592979946)-π/2
    2×0.241517736582916-π/2
    0.483035473165831-1.57079632675     		φ = -1.08776085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95845037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.915161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08776085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.324106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22771 KachelY 47382 -0.95845037 -1.08776085 -54.915161 -62.324106
    Oben rechts KachelX + 1 22772 KachelY 47382 -0.95835450 -1.08776085 -54.909668 -62.324106
    Unten links KachelX 22771 KachelY + 1 47383 -0.95845037 -1.08780538 -54.915161 -62.326657
    Unten rechts KachelX + 1 22772 KachelY + 1 47383 -0.95835450 -1.08780538 -54.909668 -62.326657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08776085--1.08780538) × R
    4.45300000000426e-05 × 6371000     		dl = 283.700630000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08776085--1.08780538) × R
    4.45300000000426e-05 × 6371000     		dr = 283.700630000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95845037--0.95835450) × cos(-1.08776085) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464469496469419 × 6371000     		do = 283.692287981573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95845037--0.95835450) × cos(-1.08780538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464430060725481 × 6371000     		du = 283.668201111475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08776085)-sin(-1.08780538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464469496469419-0.464430060725481)×R²
    abs(-0.95835450--0.95845037)×3.94357439379989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94357439379989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94357439379989e-05×40589641000000     		ar = 80480.2641100954m²