Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22770 / 47378
↖ ↑ ↗
← S 62.313899°
W 54.920654°		 ← 283.79 m → S 62.313899°
W 54.915161°		 →
↑
283.83 m
↓
↑
283.83 m
↓
S 62.316451°
W 54.920654°		 ← 283.76 m →
80 544 m²		 S 62.316451°
W 54.915161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347450256347656 y=0.722938537597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347450256347656 × 216)
    floor (0.347450256347656 × 65536)
    floor (22770.5)     		tx = 22770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722938537597656 × 216)
    floor (0.722938537597656 × 65536)
    floor (47378.5)     		ty = 47378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22770 / 47378 ti = "16/22770/47378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22770/47378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22770 ÷ 216
    22770 ÷ 65536     		x = 0.347442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47378 ÷ 216
    47378 ÷ 65536     		y = 0.722930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.30511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95854624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722930908203125 × 2 - 1) × π
    -0.44586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40071620689804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95854624} λ = -0.95854624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40071620689804))-π/2
    2×atan(0.246420412726142)-π/2
    2×0.241606812617452-π/2
    0.483213625234904-1.57079632675     		φ = -1.08758270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95854624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.920654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08758270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.313899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22770 KachelY 47378 -0.95854624 -1.08758270 -54.920654 -62.313899
    Oben rechts KachelX + 1 22771 KachelY 47378 -0.95845037 -1.08758270 -54.915161 -62.313899
    Unten links KachelX 22770 KachelY + 1 47379 -0.95854624 -1.08762725 -54.920654 -62.316451
    Unten rechts KachelX + 1 22771 KachelY + 1 47379 -0.95845037 -1.08762725 -54.915161 -62.316451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08758270--1.08762725) × R
    4.4549999999921e-05 × 6371000     		dl = 283.828049999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08758270--1.08762725) × R
    4.4549999999921e-05 × 6371000     		dr = 283.828049999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95854624--0.95845037) × cos(-1.08758270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464627256799518 × 6371000     		do = 283.788646061788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95854624--0.95845037) × cos(-1.08762725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464587807030154 × 6371000     		du = 283.764550625132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08758270)-sin(-1.08762725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464627256799518-0.464587807030154)×R²
    abs(-0.95845037--0.95854624)×3.94497693640417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94497693640417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94497693640417e-05×40589641000000     		ar = 80543.7585565818m²