Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2277 / 2783
↖ ↑ ↗
← N 75.677634°
W129.968262°		 ← 604.41 m → N 75.677634°
W129.946289°		 →
↑
604.48 m
↓
↑
604.48 m
↓
N 75.672198°
W129.968262°		 ← 604.64 m →
365 423 m²		 N 75.672198°
W129.946289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2277 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.139007568359375 y=0.169891357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.139007568359375 × 214)
    floor (0.139007568359375 × 16384)
    floor (2277.5)     		tx = 2277
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.169891357421875 × 214)
    floor (0.169891357421875 × 16384)
    floor (2783.5)     		ty = 2783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2277 / 2783 ti = "14/2277/2783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2277/2783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2277 ÷ 214
    2277 ÷ 16384     		x = 0.13897705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2783 ÷ 214
    2783 ÷ 16384     		y = 0.16986083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13897705078125 × 2 - 1) × π
    -0.7220458984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.26837409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16986083984375 × 2 - 1) × π
    0.6602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07432552035907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.26837409} λ = -2.26837409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07432552035907))-π/2
    2×atan(7.95917634581851)-π/2
    2×1.44581010454148-π/2
    2.89162020908297-1.57079632675     		φ = 1.32082388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.26837409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -129.968262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32082388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.677634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2277 KachelY 2783 -2.26837409 1.32082388 -129.968262 75.677634
    Oben rechts KachelX + 1 2278 KachelY 2783 -2.26799059 1.32082388 -129.946289 75.677634
    Unten links KachelX 2277 KachelY + 1 2784 -2.26837409 1.32072900 -129.968262 75.672198
    Unten rechts KachelX + 1 2278 KachelY + 1 2784 -2.26799059 1.32072900 -129.946289 75.672198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32082388-1.32072900) × R
    9.48800000000194e-05 × 6371000     		dl = 604.480480000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32082388-1.32072900) × R
    9.48800000000194e-05 × 6371000     		dr = 604.480480000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.26837409--2.26799059) × cos(1.32082388) × R
    0.00038349999999987 × 0.247377262517932 × 6371000     		do = 604.411546898714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.26837409--2.26799059) × cos(1.32072900) × R
    0.00038349999999987 × 0.247469192461635 × 6371000     		du = 604.636157353669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32082388)-sin(1.32072900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.247377262517932-0.247469192461635)×R²
    abs(-2.26799059--2.26837409)×9.19299437028565e-05×R²
    0.00038349999999987×9.19299437028565e-05×6371000²
    0.00038349999999987×9.19299437028565e-05×40589641000000     		ar = 365422.86858004m²