Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22765 / 47509
↖ ↑ ↗
← S 62.646392°
W 54.948120°		 ← 280.65 m → S 62.646392°
W 54.942627°		 →
↑
280.64 m
↓
↑
280.64 m
↓
S 62.648916°
W 54.948120°		 ← 280.62 m →
78 758 m²		 S 62.648916°
W 54.942627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347373962402344 y=0.724937438964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347373962402344 × 216)
    floor (0.347373962402344 × 65536)
    floor (22765.5)     		tx = 22765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724937438964844 × 216)
    floor (0.724937438964844 × 65536)
    floor (47509.5)     		ty = 47509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22765 / 47509 ti = "16/22765/47509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22765/47509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22765 ÷ 216
    22765 ÷ 65536     		x = 0.347366333007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47509 ÷ 216
    47509 ÷ 65536     		y = 0.724929809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347366333007812 × 2 - 1) × π
    -0.305267333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.95902561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724929809570312 × 2 - 1) × π
    -0.449859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4132756745985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95902561} λ = -0.95902561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4132756745985))-π/2
    2×atan(0.243344857607486)-π/2
    2×0.238705258244745-π/2
    0.477410516489489-1.57079632675     		φ = -1.09338581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95902561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.948120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09338581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.646392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22765 KachelY 47509 -0.95902561 -1.09338581 -54.948120 -62.646392
    Oben rechts KachelX + 1 22766 KachelY 47509 -0.95892974 -1.09338581 -54.942627 -62.646392
    Unten links KachelX 22765 KachelY + 1 47510 -0.95902561 -1.09342986 -54.948120 -62.648916
    Unten rechts KachelX + 1 22766 KachelY + 1 47510 -0.95892974 -1.09342986 -54.942627 -62.648916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09338581--1.09342986) × R
    4.40500000000732e-05 × 6371000     		dl = 280.642550000466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09338581--1.09342986) × R
    4.40500000000732e-05 × 6371000     		dr = 280.642550000466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95902561--0.95892974) × cos(-1.09338581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459480771441285 × 6371000     		do = 280.645235746496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95902561--0.95892974) × cos(-1.09342986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459441646326574 × 6371000     		du = 280.621338604931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09338581)-sin(-1.09342986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459480771441285-0.459441646326574)×R²
    abs(-0.95892974--0.95902561)×3.91251147112137e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91251147112137e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91251147112137e-05×40589641000000     		ar = 78757.6413410305m²