Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22763 / 47511
↖ ↑ ↗
← S 62.651440°
W 54.959106°		 ← 280.60 m → S 62.651440°
W 54.953613°		 →
↑
280.58 m
↓
↑
280.58 m
↓
S 62.653963°
W 54.959106°		 ← 280.57 m →
78 726 m²		 S 62.653963°
W 54.953613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347343444824219 y=0.724967956542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347343444824219 × 216)
    floor (0.347343444824219 × 65536)
    floor (22763.5)     		tx = 22763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724967956542969 × 216)
    floor (0.724967956542969 × 65536)
    floor (47511.5)     		ty = 47511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22763 / 47511 ti = "16/22763/47511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22763/47511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22763 ÷ 216
    22763 ÷ 65536     		x = 0.347335815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47511 ÷ 216
    47511 ÷ 65536     		y = 0.724960327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347335815429688 × 2 - 1) × π
    -0.305328369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.95921736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724960327148438 × 2 - 1) × π
    -0.449920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41346742219698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95921736} λ = -0.95921736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41346742219698))-π/2
    2×atan(0.243298201288699)-π/2
    2×0.238661209828594-π/2
    0.477322419657188-1.57079632675     		φ = -1.09347391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95921736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.959106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09347391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.651440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22763 KachelY 47511 -0.95921736 -1.09347391 -54.959106 -62.651440
    Oben rechts KachelX + 1 22764 KachelY 47511 -0.95912149 -1.09347391 -54.953613 -62.651440
    Unten links KachelX 22763 KachelY + 1 47512 -0.95921736 -1.09351795 -54.959106 -62.653963
    Unten rechts KachelX + 1 22764 KachelY + 1 47512 -0.95912149 -1.09351795 -54.953613 -62.653963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09347391--1.09351795) × R
    4.4040000000134e-05 × 6371000     		dl = 280.578840000854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09347391--1.09351795) × R
    4.4040000000134e-05 × 6371000     		dr = 280.578840000854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95921736--0.95912149) × cos(-1.09347391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459402520320361 × 6371000     		do = 280.597440918847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95921736--0.95912149) × cos(-1.09351795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459363402305207 × 6371000     		du = 280.573548113604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09347391)-sin(-1.09351795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459402520320361-0.459363402305207)×R²
    abs(-0.95912149--0.95921736)×3.91180151544934e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91180151544934e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91180151544934e-05×40589641000000     		ar = 78726.3525852064m²