Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22758 / 47454
↖ ↑ ↗
← S 62.507247°
W 54.986572°		 ← 281.96 m → S 62.507247°
W 54.981079°		 →
↑
281.98 m
↓
↑
281.98 m
↓
S 62.509783°
W 54.986572°		 ← 281.94 m →
79 504 m²		 S 62.509783°
W 54.981079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347267150878906 y=0.724098205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347267150878906 × 216)
    floor (0.347267150878906 × 65536)
    floor (22758.5)     		tx = 22758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724098205566406 × 216)
    floor (0.724098205566406 × 65536)
    floor (47454.5)     		ty = 47454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22758 / 47454 ti = "16/22758/47454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22758/47454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22758 ÷ 216
    22758 ÷ 65536     		x = 0.347259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47454 ÷ 216
    47454 ÷ 65536     		y = 0.724090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.30548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.95969673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.44818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40800261564029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.95969673} λ = -0.95969673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40800261564029))-π/2
    2×atan(0.244631418463366)-π/2
    2×0.239919532941269-π/2
    0.479839065882538-1.57079632675     		φ = -1.09095726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.95969673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -54.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09095726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.507247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22758 KachelY 47454 -0.95969673 -1.09095726 -54.986572 -62.507247
    Oben rechts KachelX + 1 22759 KachelY 47454 -0.95960086 -1.09095726 -54.981079 -62.507247
    Unten links KachelX 22758 KachelY + 1 47455 -0.95969673 -1.09100152 -54.986572 -62.509783
    Unten rechts KachelX + 1 22759 KachelY + 1 47455 -0.95960086 -1.09100152 -54.981079 -62.509783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09095726--1.09100152) × R
    4.42600000001292e-05 × 6371000     		dl = 281.980460000823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09095726--1.09100152) × R
    4.42600000001292e-05 × 6371000     		dr = 281.980460000823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.95969673--0.95960086) × cos(-1.09095726) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461636422626342 × 6371000     		do = 281.961881126715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.95969673--0.95960086) × cos(-1.09100152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.461597160490211 × 6371000     		du = 281.937900294142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09095726)-sin(-1.09100152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461636422626342-0.461597160490211)×R²
    abs(-0.95960086--0.95969673)×3.92621361304801e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92621361304801e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92621361304801e-05×40589641000000     		ar = 79504.3598924293m²