Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2275 / 6584
↖ ↑ ↗
← S 73.124945°
W 80.024414°		 ← 1 418.48 m → S 73.124945°
W 79.980469°		 →
↑
1 417.93 m
↓
↑
1 417.93 m
↓
S 73.137697°
W 80.024414°		 ← 1 417.44 m →
2 010 565 m²		 S 73.137697°
W 79.980469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27777099609375 y=0.80377197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27777099609375 × 213)
    floor (0.27777099609375 × 8192)
    floor (2275.5)     		tx = 2275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80377197265625 × 213)
    floor (0.80377197265625 × 8192)
    floor (6584.5)     		ty = 6584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2275 / 6584 ti = "13/2275/6584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2275/6584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2275 ÷ 213
    2275 ÷ 8192     		x = 0.2777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6584 ÷ 213
    6584 ÷ 8192     		y = 0.8037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.444580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39668951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8037109375 × 2 - 1) × π
    -0.607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.9082721000752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39668951} λ = -1.39668951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9082721000752))-π/2
    2×atan(0.148336475868928)-π/2
    2×0.147262633453893-π/2
    0.294525266907786-1.57079632675     		φ = -1.27627106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39668951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.024414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27627106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.124945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2275 KachelY 6584 -1.39668951 -1.27627106 -80.024414 -73.124945
    Oben rechts KachelX + 1 2276 KachelY 6584 -1.39592252 -1.27627106 -79.980469 -73.124945
    Unten links KachelX 2275 KachelY + 1 6585 -1.39668951 -1.27649362 -80.024414 -73.137697
    Unten rechts KachelX + 1 2276 KachelY + 1 6585 -1.39592252 -1.27649362 -79.980469 -73.137697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27627106--1.27649362) × R
    0.000222560000000094 × 6371000     		dl = 1417.9297600006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27627106--1.27649362) × R
    0.000222560000000094 × 6371000     		dr = 1417.9297600006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39668951--1.39592252) × cos(-1.27627106) × R
    0.000766990000000023 × 0.290285591630776 × 6371000     		do = 1418.47859568751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39668951--1.39592252) × cos(-1.27649362) × R
    0.000766990000000023 × 0.290072607863795 × 6371000     		du = 1417.43785193928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27627106)-sin(-1.27649362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290285591630776-0.290072607863795)×R²
    abs(-1.39592252--1.39668951)×0.000212983766981478×R²
    0.000766990000000023×0.000212983766981478×6371000²
    0.000766990000000023×0.000212983766981478×40589641000000     		ar = 2010565.17228227m²