Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22749 / 47575
↖ ↑ ↗
← S 62.812509°
W 55.036010°		 ← 279.07 m → S 62.812509°
W 55.030518°		 →
↑
279.11 m
↓
↑
279.11 m
↓
S 62.815019°
W 55.036010°		 ← 279.05 m →
77 889 m²		 S 62.815019°
W 55.030518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.347129821777344 y=0.725944519042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.347129821777344 × 216)
    floor (0.347129821777344 × 65536)
    floor (22749.5)     		tx = 22749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725944519042969 × 216)
    floor (0.725944519042969 × 65536)
    floor (47575.5)     		ty = 47575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22749 / 47575 ti = "16/22749/47575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22749/47575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22749 ÷ 216
    22749 ÷ 65536     		x = 0.347122192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47575 ÷ 216
    47575 ÷ 65536     		y = 0.725936889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.347122192382812 × 2 - 1) × π
    -0.305755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96055959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725936889648438 × 2 - 1) × π
    -0.451873779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41960334534834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96055959} λ = -0.96055959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41960334534834))-π/2
    2×atan(0.241809912903751)-π/2
    2×0.237255616191765-π/2
    0.47451123238353-1.57079632675     		φ = -1.09628509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96055959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.036010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09628509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.812509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22749 KachelY 47575 -0.96055959 -1.09628509 -55.036010 -62.812509
    Oben rechts KachelX + 1 22750 KachelY 47575 -0.96046372 -1.09628509 -55.030518 -62.812509
    Unten links KachelX 22749 KachelY + 1 47576 -0.96055959 -1.09632890 -55.036010 -62.815019
    Unten rechts KachelX + 1 22750 KachelY + 1 47576 -0.96046372 -1.09632890 -55.030518 -62.815019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09628509--1.09632890) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dl = 279.113509999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09628509--1.09632890) × R
    4.38099999999775e-05 × 6371000     		dr = 279.113509999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96055959--0.96046372) × cos(-1.09628509) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456903739008697 × 6371000     		do = 279.071215853778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96055959--0.96046372) × cos(-1.09632890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.456864768867899 × 6371000     		du = 279.047413368384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09628509)-sin(-1.09632890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456903739008697-0.456864768867899)×R²
    abs(-0.96046372--0.96055959)×3.89701407975118e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.89701407975118e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.89701407975118e-05×40589641000000     		ar = 77889.2248117605m²