Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2274 / 6569
↖ ↑ ↗
← S 72.932538°
W 80.068360°		 ← 1 434.17 m → S 72.932538°
W 80.024414°		 →
↑
1 433.67 m
↓
↑
1 433.67 m
↓
S 72.945431°
W 80.068360°		 ← 1 433.12 m →
2 055 372 m²		 S 72.945431°
W 80.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27764892578125 y=0.80194091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27764892578125 × 213)
    floor (0.27764892578125 × 8192)
    floor (2274.5)     		tx = 2274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80194091796875 × 213)
    floor (0.80194091796875 × 8192)
    floor (6569.5)     		ty = 6569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2274 / 6569 ti = "13/2274/6569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2274/6569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2274 ÷ 213
    2274 ÷ 8192     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6569 ÷ 213
    6569 ÷ 8192     		y = 0.8018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8018798828125 × 2 - 1) × π
    -0.603759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89676724416638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89676724416638))-π/2
    2×atan(0.150052920440973)-π/2
    2×0.148941703140145-π/2
    0.29788340628029-1.57079632675     		φ = -1.27291292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27291292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.932538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2274 KachelY 6569 -1.39745650 -1.27291292 -80.068360 -72.932538
    Oben rechts KachelX + 1 2275 KachelY 6569 -1.39668951 -1.27291292 -80.024414 -72.932538
    Unten links KachelX 2274 KachelY + 1 6570 -1.39745650 -1.27313795 -80.068360 -72.945431
    Unten rechts KachelX + 1 2275 KachelY + 1 6570 -1.39668951 -1.27313795 -80.024414 -72.945431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27291292--1.27313795) × R
    0.000225029999999959 × 6371000     		dl = 1433.66612999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27291292--1.27313795) × R
    0.000225029999999959 × 6371000     		dr = 1433.66612999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39668951) × cos(-1.27291292) × R
    0.000766990000000023 × 0.293497487489552 × 6371000     		do = 1434.1735032496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39668951) × cos(-1.27313795) × R
    0.000766990000000023 × 0.29328236041636 × 6371000     		du = 1433.12228624995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27291292)-sin(-1.27313795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293497487489552-0.29328236041636)×R²
    abs(-1.39668951--1.39745650)×0.000215127073192267×R²
    0.000766990000000023×0.000215127073192267×6371000²
    0.000766990000000023×0.000215127073192267×40589641000000     		ar = 2055372.43772364m²