Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2274 / 6562
↖ ↑ ↗
← S 72.842021°
W 80.068360°		 ← 1 441.55 m → S 72.842021°
W 80.024414°		 →
↑
1 441.06 m
↓
↑
1 441.06 m
↓
S 72.854981°
W 80.068360°		 ← 1 440.50 m →
2 076 596 m²		 S 72.854981°
W 80.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27764892578125 y=0.80108642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27764892578125 × 213)
    floor (0.27764892578125 × 8192)
    floor (2274.5)     		tx = 2274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80108642578125 × 213)
    floor (0.80108642578125 × 8192)
    floor (6562.5)     		ty = 6562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2274 / 6562 ti = "13/2274/6562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2274/6562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2274 ÷ 213
    2274 ÷ 8192     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6562 ÷ 213
    6562 ÷ 8192     		y = 0.801025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.801025390625 × 2 - 1) × π
    -0.60205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.89139831140894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89139831140894))-π/2
    2×atan(0.15086071102714)-π/2
    2×0.149731612313051-π/2
    0.299463224626102-1.57079632675     		φ = -1.27133310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27133310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.842021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2274 KachelY 6562 -1.39745650 -1.27133310 -80.068360 -72.842021
    Oben rechts KachelX + 1 2275 KachelY 6562 -1.39668951 -1.27133310 -80.024414 -72.842021
    Unten links KachelX 2274 KachelY + 1 6563 -1.39745650 -1.27155929 -80.068360 -72.854981
    Unten rechts KachelX + 1 2275 KachelY + 1 6563 -1.39668951 -1.27155929 -80.024414 -72.854981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27133310--1.27155929) × R
    0.000226189999999793 × 6371000     		dl = 1441.05648999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27133310--1.27155929) × R
    0.000226189999999793 × 6371000     		dr = 1441.05648999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39668951) × cos(-1.27133310) × R
    0.000766990000000023 × 0.295007365083296 × 6371000     		do = 1441.55150998015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39668951) × cos(-1.27155929) × R
    0.000766990000000023 × 0.294791234129309 × 6371000     		du = 1440.49538752373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27133310)-sin(-1.27155929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295007365083296-0.294791234129309)×R²
    abs(-1.39668951--1.39745650)×0.000216130953986815×R²
    0.000766990000000023×0.000216130953986815×6371000²
    0.000766990000000023×0.000216130953986815×40589641000000     		ar = 2076596.2019182m²