Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2274 / 6560
↖ ↑ ↗
← S 72.816073°
W 80.068360°		 ← 1 443.67 m → S 72.816073°
W 80.024414°		 →
↑
1 443.16 m
↓
↑
1 443.16 m
↓
S 72.829052°
W 80.068360°		 ← 1 442.61 m →
2 082 676 m²		 S 72.829052°
W 80.024414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27764892578125 y=0.80084228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27764892578125 × 213)
    floor (0.27764892578125 × 8192)
    floor (2274.5)     		tx = 2274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80084228515625 × 213)
    floor (0.80084228515625 × 8192)
    floor (6560.5)     		ty = 6560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2274 / 6560 ti = "13/2274/6560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2274/6560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2274 ÷ 213
    2274 ÷ 8192     		x = 0.277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6560 ÷ 213
    6560 ÷ 8192     		y = 0.80078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.44482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.39745650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80078125 × 2 - 1) × π
    -0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39745650} λ = -1.39745650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88986433062109))-π/2
    2×atan(0.151092306045236)-π/2
    2×0.14995804602153-π/2
    0.29991609204306-1.57079632675     		φ = -1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39745650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.068360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2274 KachelY 6560 -1.39745650 -1.27088023 -80.068360 -72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 2275 KachelY 6560 -1.39668951 -1.27088023 -80.024414 -72.816073
    Unten links KachelX 2274 KachelY + 1 6561 -1.39745650 -1.27110675 -80.068360 -72.829052
    Unten rechts KachelX + 1 2275 KachelY + 1 6561 -1.39668951 -1.27110675 -80.024414 -72.829052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27088023--1.27110675) × R
    0.000226520000000008 × 6371000     		dl = 1443.15892000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27088023--1.27110675) × R
    0.000226520000000008 × 6371000     		dr = 1443.15892000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39745650--1.39668951) × cos(-1.27088023) × R
    0.000766990000000023 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 1443.6658210811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39745650--1.39668951) × cos(-1.27110675) × R
    0.000766990000000023 × 0.295223633812653 × 6371000     		du = 1442.60830567499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27088023)-sin(-1.27110675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.295223633812653)×R²
    abs(-1.39668951--1.39745650)×0.000216416015196674×R²
    0.000766990000000023×0.000216416015196674×6371000²
    0.000766990000000023×0.000216416015196674×40589641000000     		ar = 2082676.13470437m²