Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22736 / 47503
↖ ↑ ↗
← S 62.631244°
W 55.107422°		 ← 280.79 m → S 62.631244°
W 55.101929°		 →
↑
280.77 m
↓
↑
280.77 m
↓
S 62.633769°
W 55.107422°		 ← 280.76 m →
78 834 m²		 S 62.633769°
W 55.101929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346931457519531 y=0.724845886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346931457519531 × 216)
    floor (0.346931457519531 × 65536)
    floor (22736.5)     		tx = 22736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724845886230469 × 216)
    floor (0.724845886230469 × 65536)
    floor (47503.5)     		ty = 47503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22736 / 47503 ti = "16/22736/47503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22736/47503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22736 ÷ 216
    22736 ÷ 65536     		x = 0.346923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47503 ÷ 216
    47503 ÷ 65536     		y = 0.724838256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346923828125 × 2 - 1) × π
    -0.30615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96180595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724838256835938 × 2 - 1) × π
    -0.449676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41270043180305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96180595} λ = -0.96180595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41270043180305))-π/2
    2×atan(0.24348488025328)-π/2
    2×0.238837448511522-π/2
    0.477674897023043-1.57079632675     		φ = -1.09312143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96180595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09312143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.631244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22736 KachelY 47503 -0.96180595 -1.09312143 -55.107422 -62.631244
    Oben rechts KachelX + 1 22737 KachelY 47503 -0.96171008 -1.09312143 -55.101929 -62.631244
    Unten links KachelX 22736 KachelY + 1 47504 -0.96180595 -1.09316550 -55.107422 -62.633769
    Unten rechts KachelX + 1 22737 KachelY + 1 47504 -0.96171008 -1.09316550 -55.101929 -62.633769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09312143--1.09316550) × R
    4.40699999999516e-05 × 6371000     		dl = 280.769969999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09312143--1.09316550) × R
    4.40699999999516e-05 × 6371000     		dr = 280.769969999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96180595--0.96171008) × cos(-1.09312143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459715574449063 × 6371000     		do = 280.788650552006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96180595--0.96171008) × cos(-1.09316550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459676436924847 × 6371000     		du = 280.764745830867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09312143)-sin(-1.09316550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459715574449063-0.459676436924847)×R²
    abs(-0.96171008--0.96180595)×3.91375242158598e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91375242158598e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91375242158598e-05×40589641000000     		ar = 78833.6651404589m²