Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22731 / 47688
↖ ↑ ↗
← S 63.094759°
W 55.134888°		 ← 276.39 m → S 63.094759°
W 55.129395°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
S 63.097244°
W 55.134888°		 ← 276.37 m →
76 384 m²		 S 63.097244°
W 55.129395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346855163574219 y=0.727668762207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346855163574219 × 216)
    floor (0.346855163574219 × 65536)
    floor (22731.5)     		tx = 22731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727668762207031 × 216)
    floor (0.727668762207031 × 65536)
    floor (47688.5)     		ty = 47688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22731 / 47688 ti = "16/22731/47688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22731/47688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22731 ÷ 216
    22731 ÷ 65536     		x = 0.346847534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47688 ÷ 216
    47688 ÷ 65536     		y = 0.7276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346847534179688 × 2 - 1) × π
    -0.306304931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96228532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7276611328125 × 2 - 1) × π
    -0.455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.43043708466248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96228532} λ = -0.96228532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43043708466248))-π/2
    2×atan(0.239204346840066)-π/2
    2×0.234792525448368-π/2
    0.469585050896737-1.57079632675     		φ = -1.10121128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96228532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.134888°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10121128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.094759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22731 KachelY 47688 -0.96228532 -1.10121128 -55.134888 -63.094759
    Oben rechts KachelX + 1 22732 KachelY 47688 -0.96218945 -1.10121128 -55.129395 -63.094759
    Unten links KachelX 22731 KachelY + 1 47689 -0.96228532 -1.10125466 -55.134888 -63.097244
    Unten rechts KachelX + 1 22732 KachelY + 1 47689 -0.96218945 -1.10125466 -55.129395 -63.097244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10121128--1.10125466) × R
    4.33799999999263e-05 × 6371000     		dl = 276.37397999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10121128--1.10125466) × R
    4.33799999999263e-05 × 6371000     		dr = 276.37397999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96228532--0.96218945) × cos(-1.10121128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.452516287280555 × 6371000     		do = 276.391413996763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96228532--0.96218945) × cos(-1.10125466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45247760247352 × 6371000     		du = 276.367785789742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10121128)-sin(-1.10125466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452516287280555-0.45247760247352)×R²
    abs(-0.96218945--0.96228532)×3.86848070343948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.86848070343948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.86848070343948e-05×40589641000000     		ar = 76384.1300250817m²