Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2273 / 6594
↖ ↑ ↗
← S 73.252045°
W 80.112305°		 ← 1 408.10 m → S 73.252045°
W 80.068360°		 →
↑
1 407.61 m
↓
↑
1 407.61 m
↓
S 73.264704°
W 80.112305°		 ← 1 407.07 m →
1 981 329 m²		 S 73.264704°
W 80.068360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27752685546875 y=0.80499267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27752685546875 × 213)
    floor (0.27752685546875 × 8192)
    floor (2273.5)     		tx = 2273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80499267578125 × 213)
    floor (0.80499267578125 × 8192)
    floor (6594.5)     		ty = 6594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2273 / 6594 ti = "13/2273/6594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2273/6594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2273 ÷ 213
    2273 ÷ 8192     		x = 0.2774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6594 ÷ 213
    6594 ÷ 8192     		y = 0.804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39822349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.60986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.9159420040144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39822349} λ = -1.39822349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.9159420040144))-π/2
    2×atan(0.14720310134133)-π/2
    2×0.146153478444311-π/2
    0.292306956888622-1.57079632675     		φ = -1.27848937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39822349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.112305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27848937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.252045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2273 KachelY 6594 -1.39822349 -1.27848937 -80.112305 -73.252045
    Oben rechts KachelX + 1 2274 KachelY 6594 -1.39745650 -1.27848937 -80.068360 -73.252045
    Unten links KachelX 2273 KachelY + 1 6595 -1.39822349 -1.27871031 -80.112305 -73.264704
    Unten rechts KachelX + 1 2274 KachelY + 1 6595 -1.39745650 -1.27871031 -80.068360 -73.264704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27848937--1.27871031) × R
    0.000220939999999947 × 6371000     		dl = 1407.60873999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27848937--1.27871031) × R
    0.000220939999999947 × 6371000     		dr = 1407.60873999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39822349--1.39745650) × cos(-1.27848937) × R
    0.000766989999999801 × 0.288162089438141 × 6371000     		do = 1408.10211647149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39822349--1.39745650) × cos(-1.27871031) × R
    0.000766989999999801 × 0.287950514317585 × 6371000     		du = 1407.06825606456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27848937)-sin(-1.27871031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288162089438141-0.287950514317585)×R²
    abs(-1.39745650--1.39822349)×0.000211575120555529×R²
    0.000766989999999801×0.000211575120555529×6371000²
    0.000766989999999801×0.000211575120555529×40589641000000     		ar = 1981329.2185468m²