Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2273 / 6561
↖ ↑ ↗
← S 72.829052°
W 80.112305°		 ← 1 442.61 m → S 72.829052°
W 80.068360°		 →
↑
1 442.08 m
↓
↑
1 442.08 m
↓
S 72.842021°
W 80.112305°		 ← 1 441.55 m →
2 079 589 m²		 S 72.842021°
W 80.068360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27752685546875 y=0.80096435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27752685546875 × 213)
    floor (0.27752685546875 × 8192)
    floor (2273.5)     		tx = 2273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80096435546875 × 213)
    floor (0.80096435546875 × 8192)
    floor (6561.5)     		ty = 6561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2273 / 6561 ti = "13/2273/6561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2273/6561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2273 ÷ 213
    2273 ÷ 8192     		x = 0.2774658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6561 ÷ 213
    6561 ÷ 8192     		y = 0.8009033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.445068359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.39822349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89063132101501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39822349} λ = -1.39822349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89063132101501))-π/2
    2×atan(0.150976464128402)-π/2
    2×0.149844787684398-π/2
    0.299689575368795-1.57079632675     		φ = -1.27110675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39822349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.112305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27110675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.829052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2273 KachelY 6561 -1.39822349 -1.27110675 -80.112305 -72.829052
    Oben rechts KachelX + 1 2274 KachelY 6561 -1.39745650 -1.27110675 -80.068360 -72.829052
    Unten links KachelX 2273 KachelY + 1 6562 -1.39822349 -1.27133310 -80.112305 -72.842021
    Unten rechts KachelX + 1 2274 KachelY + 1 6562 -1.39745650 -1.27133310 -80.068360 -72.842021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27110675--1.27133310) × R
    0.000226350000000153 × 6371000     		dl = 1442.07585000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27110675--1.27133310) × R
    0.000226350000000153 × 6371000     		dr = 1442.07585000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39822349--1.39745650) × cos(-1.27110675) × R
    0.000766989999999801 × 0.295223633812653 × 6371000     		do = 1442.60830567457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39822349--1.39745650) × cos(-1.27133310) × R
    0.000766989999999801 × 0.295007365083296 × 6371000     		du = 1441.55150997973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27110675)-sin(-1.27133310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295223633812653-0.295007365083296)×R²
    abs(-1.39745650--1.39822349)×0.000216268729357594×R²
    0.000766989999999801×0.000216268729357594×6371000²
    0.000766989999999801×0.000216268729357594×40589641000000     		ar = 2079588.61772586m²