Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22729 / 47535
↖ ↑ ↗
← S 62.711944°
W 55.145874°		 ← 280.02 m → S 62.711944°
W 55.140381°		 →
↑
280.01 m
↓
↑
280.01 m
↓
S 62.714462°
W 55.145874°		 ← 280 m →
78 405 m²		 S 62.714462°
W 55.140381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346824645996094 y=0.725334167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346824645996094 × 216)
    floor (0.346824645996094 × 65536)
    floor (22729.5)     		tx = 22729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725334167480469 × 216)
    floor (0.725334167480469 × 65536)
    floor (47535.5)     		ty = 47535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22729 / 47535 ti = "16/22729/47535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22729/47535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22729 ÷ 216
    22729 ÷ 65536     		x = 0.346817016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47535 ÷ 216
    47535 ÷ 65536     		y = 0.725326538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346817016601562 × 2 - 1) × π
    -0.306365966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96247707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725326538085938 × 2 - 1) × π
    -0.450653076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41576839337874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96247707} λ = -0.96247707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41576839337874))-π/2
    2×atan(0.242739022712566)-π/2
    2×0.23813321368365-π/2
    0.476266427367299-1.57079632675     		φ = -1.09452990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96247707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.145874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09452990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.711944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22729 KachelY 47535 -0.96247707 -1.09452990 -55.145874 -62.711944
    Oben rechts KachelX + 1 22730 KachelY 47535 -0.96238120 -1.09452990 -55.140381 -62.711944
    Unten links KachelX 22729 KachelY + 1 47536 -0.96247707 -1.09457385 -55.145874 -62.714462
    Unten rechts KachelX + 1 22730 KachelY + 1 47536 -0.96238120 -1.09457385 -55.140381 -62.714462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09452990--1.09457385) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dl = 280.005450000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09452990--1.09457385) × R
    4.39500000000148e-05 × 6371000     		dr = 280.005450000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96247707--0.96238120) × cos(-1.09452990) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458464304261006 × 6371000     		do = 280.024390024175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96247707--0.96238120) × cos(-1.09457385) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458425244889664 × 6371000     		du = 280.000533037855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09452990)-sin(-1.09457385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458464304261006-0.458425244889664)×R²
    abs(-0.96238120--0.96247707)×3.90593713425202e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90593713425202e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90593713425202e-05×40589641000000     		ar = 78405.0153092238m²