Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22728 / 47432
↖ ↑ ↗
← S 62.451406°
W 55.151367°		 ← 282.49 m → S 62.451406°
W 55.145874°		 →
↑
282.43 m
↓
↑
282.43 m
↓
S 62.453946°
W 55.151367°		 ← 282.47 m →
79 779 m²		 S 62.453946°
W 55.145874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346809387207031 y=0.723762512207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346809387207031 × 216)
    floor (0.346809387207031 × 65536)
    floor (22728.5)     		tx = 22728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723762512207031 × 216)
    floor (0.723762512207031 × 65536)
    floor (47432.5)     		ty = 47432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22728 / 47432 ti = "16/22728/47432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22728/47432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22728 ÷ 216
    22728 ÷ 65536     		x = 0.3468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47432 ÷ 216
    47432 ÷ 65536     		y = 0.7237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96257294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40589339205701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96257294} λ = -0.96257294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40589339205701))-π/2
    2×atan(0.245147945364267)-π/2
    2×0.24040683581447-π/2
    0.480813671628939-1.57079632675     		φ = -1.08998266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96257294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08998266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.451406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22728 KachelY 47432 -0.96257294 -1.08998266 -55.151367 -62.451406
    Oben rechts KachelX + 1 22729 KachelY 47432 -0.96247707 -1.08998266 -55.145874 -62.451406
    Unten links KachelX 22728 KachelY + 1 47433 -0.96257294 -1.09002699 -55.151367 -62.453946
    Unten rechts KachelX + 1 22729 KachelY + 1 47433 -0.96247707 -1.09002699 -55.145874 -62.453946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08998266--1.09002699) × R
    4.43299999999258e-05 × 6371000     		dl = 282.426429999527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08998266--1.09002699) × R
    4.43299999999258e-05 × 6371000     		dr = 282.426429999527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96257294--0.96247707) × cos(-1.08998266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462500740916468 × 6371000     		do = 282.489796167711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96257294--0.96247707) × cos(-1.09002699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.462461436646432 × 6371000     		du = 282.465789600264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08998266)-sin(-1.09002699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462500740916468-0.462461436646432)×R²
    abs(-0.96247707--0.96257294)×3.93042700358448e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93042700358448e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93042700358448e-05×40589641000000     		ar = 79779.1946114705m²