Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22727 / 47540
↖ ↑ ↗
← S 62.724533°
W 55.156860°		 ← 279.93 m → S 62.724533°
W 55.151367°		 →
↑
279.88 m
↓
↑
279.88 m
↓
S 62.727050°
W 55.156860°		 ← 279.91 m →
78 344 m²		 S 62.727050°
W 55.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346794128417969 y=0.725410461425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346794128417969 × 216)
    floor (0.346794128417969 × 65536)
    floor (22727.5)     		tx = 22727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725410461425781 × 216)
    floor (0.725410461425781 × 65536)
    floor (47540.5)     		ty = 47540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22727 / 47540 ti = "16/22727/47540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22727/47540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22727 ÷ 216
    22727 ÷ 65536     		x = 0.346786499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47540 ÷ 216
    47540 ÷ 65536     		y = 0.72540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346786499023438 × 2 - 1) × π
    -0.306427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96266882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72540283203125 × 2 - 1) × π
    -0.4508056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41624776237494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96266882} λ = -0.96266882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41624776237494))-π/2
    2×atan(0.242622689036516)-π/2
    2×0.238023350301484-π/2
    0.476046700602969-1.57079632675     		φ = -1.09474963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96266882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.156860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09474963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.724533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22727 KachelY 47540 -0.96266882 -1.09474963 -55.156860 -62.724533
    Oben rechts KachelX + 1 22728 KachelY 47540 -0.96257294 -1.09474963 -55.151367 -62.724533
    Unten links KachelX 22727 KachelY + 1 47541 -0.96266882 -1.09479356 -55.156860 -62.727050
    Unten rechts KachelX + 1 22728 KachelY + 1 47541 -0.96257294 -1.09479356 -55.151367 -62.727050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09474963--1.09479356) × R
    4.39300000001364e-05 × 6371000     		dl = 279.878030000869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09474963--1.09479356) × R
    4.39300000001364e-05 × 6371000     		dr = 279.878030000869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96266882--0.96257294) × cos(-1.09474963) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.458269016326365 × 6371000     		do = 279.934306860921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96266882--0.96257294) × cos(-1.09479356) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.458229970305377 × 6371000     		du = 279.910455541212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09474963)-sin(-1.09479356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458269016326365-0.458229970305377)×R²
    abs(-0.96257294--0.96266882)×3.90460209885868e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.90460209885868e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.90460209885868e-05×40589641000000     		ar = 78344.1246162964m²