Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22723 / 47538
↖ ↑ ↗
← S 62.719498°
W 55.178833°		 ← 279.95 m → S 62.719498°
W 55.173340°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
S 62.722016°
W 55.178833°		 ← 279.93 m →
78 367 m²		 S 62.722016°
W 55.173340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22723 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346733093261719 y=0.725379943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346733093261719 × 216)
    floor (0.346733093261719 × 65536)
    floor (22723.5)     		tx = 22723
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.725379943847656 × 216)
    floor (0.725379943847656 × 65536)
    floor (47538.5)     		ty = 47538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22723 / 47538 ti = "16/22723/47538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22723/47538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22723 ÷ 216
    22723 ÷ 65536     		x = 0.346725463867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47538 ÷ 216
    47538 ÷ 65536     		y = 0.725372314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346725463867188 × 2 - 1) × π
    -0.306549072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96305231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.725372314453125 × 2 - 1) × π
    -0.45074462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41605601477646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96305231} λ = -0.96305231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41605601477646))-π/2
    2×atan(0.242669215815032)-π/2
    2×0.238067290037593-π/2
    0.476134580075186-1.57079632675     		φ = -1.09466175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96305231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.178833°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09466175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.719498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22723 KachelY 47538 -0.96305231 -1.09466175 -55.178833 -62.719498
    Oben rechts KachelX + 1 22724 KachelY 47538 -0.96295644 -1.09466175 -55.173340 -62.719498
    Unten links KachelX 22723 KachelY + 1 47539 -0.96305231 -1.09470569 -55.178833 -62.722016
    Unten rechts KachelX + 1 22724 KachelY + 1 47539 -0.96295644 -1.09470569 -55.173340 -62.722016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09466175--1.09470569) × R
    4.39400000000756e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09466175--1.09470569) × R
    4.39400000000756e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96305231--0.96295644) × cos(-1.09466175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.458347123490568 × 6371000     		do = 279.952817442712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96305231--0.96295644) × cos(-1.09470569) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4583080703509 × 6371000     		du = 279.928964262623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09466175)-sin(-1.09470569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458347123490568-0.4583080703509)×R²
    abs(-0.96295644--0.96305231)×3.90531396682325e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.90531396682325e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.90531396682325e-05×40589641000000     		ar = 78367.1400950832m²