Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2272 / 6598
↖ ↑ ↗
← S 73.302624°
W 80.156250°		 ← 1 403.97 m → S 73.302624°
W 80.112305°		 →
↑
1 403.47 m
↓
↑
1 403.47 m
↓
S 73.315246°
W 80.156250°		 ← 1 402.94 m →
1 969 704 m²		 S 73.315246°
W 80.112305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27740478515625 y=0.80548095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27740478515625 × 213)
    floor (0.27740478515625 × 8192)
    floor (2272.5)     		tx = 2272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80548095703125 × 213)
    floor (0.80548095703125 × 8192)
    floor (6598.5)     		ty = 6598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2272 / 6598 ti = "13/2272/6598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2272/6598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2272 ÷ 213
    2272 ÷ 8192     		x = 0.27734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6598 ÷ 213
    6598 ÷ 8192     		y = 0.805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27734375 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39899048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.805419921875 × 2 - 1) × π
    -0.61083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.91900996559009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39899048} λ = -1.39899048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91900996559009))-π/2
    2×atan(0.146752179941045)-π/2
    2×0.145712092067784-π/2
    0.291424184135568-1.57079632675     		φ = -1.27937214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39899048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27937214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.302624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2272 KachelY 6598 -1.39899048 -1.27937214 -80.156250 -73.302624
    Oben rechts KachelX + 1 2273 KachelY 6598 -1.39822349 -1.27937214 -80.112305 -73.302624
    Unten links KachelX 2272 KachelY + 1 6599 -1.39899048 -1.27959243 -80.156250 -73.315246
    Unten rechts KachelX + 1 2273 KachelY + 1 6599 -1.39822349 -1.27959243 -80.112305 -73.315246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27937214--1.27959243) × R
    0.000220289999999901 × 6371000     		dl = 1403.46758999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27937214--1.27959243) × R
    0.000220289999999901 × 6371000     		dr = 1403.46758999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39899048--1.39822349) × cos(-1.27937214) × R
    0.000766990000000023 × 0.287316652917739 × 6371000     		do = 1403.97089658783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39899048--1.39822349) × cos(-1.27959243) × R
    0.000766990000000023 × 0.287105644331718 × 6371000     		du = 1402.93980454811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27937214)-sin(-1.27959243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287316652917739-0.287105644331718)×R²
    abs(-1.39822349--1.39899048)×0.000211008586020356×R²
    0.000766990000000023×0.000211008586020356×6371000²
    0.000766990000000023×0.000211008586020356×40589641000000     		ar = 1969704.10649822m²