Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2272 / 6568
↖ ↑ ↗
← S 72.919636°
W 80.156250°		 ← 1 435.23 m → S 72.919636°
W 80.112305°		 →
↑
1 434.69 m
↓
↑
1 434.69 m
↓
S 72.932538°
W 80.156250°		 ← 1 434.17 m →
2 058 342 m²		 S 72.932538°
W 80.112305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27740478515625 y=0.80181884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27740478515625 × 213)
    floor (0.27740478515625 × 8192)
    floor (2272.5)     		tx = 2272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80181884765625 × 213)
    floor (0.80181884765625 × 8192)
    floor (6568.5)     		ty = 6568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2272 / 6568 ti = "13/2272/6568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2272/6568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2272 ÷ 213
    2272 ÷ 8192     		x = 0.27734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6568 ÷ 213
    6568 ÷ 8192     		y = 0.8017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27734375 × 2 - 1) × π
    -0.4453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.39899048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8017578125 × 2 - 1) × π
    -0.603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.89600025377246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39899048} λ = -1.39899048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.89600025377246))-π/2
    2×atan(0.150168053736953)-π/2
    2×0.149054299289158-π/2
    0.298108598578316-1.57079632675     		φ = -1.27268773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39899048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27268773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.919636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2272 KachelY 6568 -1.39899048 -1.27268773 -80.156250 -72.919636
    Oben rechts KachelX + 1 2273 KachelY 6568 -1.39822349 -1.27268773 -80.112305 -72.919636
    Unten links KachelX 2272 KachelY + 1 6569 -1.39899048 -1.27291292 -80.156250 -72.932538
    Unten rechts KachelX + 1 2273 KachelY + 1 6569 -1.39822349 -1.27291292 -80.112305 -72.932538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27268773--1.27291292) × R
    0.000225190000000097 × 6371000     		dl = 1434.68549000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27268773--1.27291292) × R
    0.000225190000000097 × 6371000     		dr = 1434.68549000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39899048--1.39822349) × cos(-1.27268773) × R
    0.000766990000000023 × 0.293712752643472 × 6371000     		do = 1435.2253949798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39899048--1.39822349) × cos(-1.27291292) × R
    0.000766990000000023 × 0.293497487489552 × 6371000     		du = 1434.1735032496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27268773)-sin(-1.27291292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293712752643472-0.293497487489552)×R²
    abs(-1.39822349--1.39899048)×0.000215265153919841×R²
    0.000766990000000023×0.000215265153919841×6371000²
    0.000766990000000023×0.000215265153919841×40589641000000     		ar = 2058342.49085173m²