Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22714 / 47694
↖ ↑ ↗
← S 63.109669°
W 55.228272°		 ← 276.28 m → S 63.109669°
W 55.222778°		 →
↑
276.25 m
↓
↑
276.25 m
↓
S 63.112154°
W 55.228272°		 ← 276.25 m →
76 318 m²		 S 63.112154°
W 55.222778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346595764160156 y=0.727760314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346595764160156 × 216)
    floor (0.346595764160156 × 65536)
    floor (22714.5)     		tx = 22714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727760314941406 × 216)
    floor (0.727760314941406 × 65536)
    floor (47694.5)     		ty = 47694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22714 / 47694 ti = "16/22714/47694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22714/47694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22714 ÷ 216
    22714 ÷ 65536     		x = 0.346588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47694 ÷ 216
    47694 ÷ 65536     		y = 0.727752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.30682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96391518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.45550537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43101232745792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96391518} λ = -0.96391518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43101232745792))-π/2
    2×atan(0.23906678583219)-π/2
    2×0.234662405458835-π/2
    0.46932481091767-1.57079632675     		φ = -1.10147152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96391518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.228272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10147152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.109669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22714 KachelY 47694 -0.96391518 -1.10147152 -55.228272 -63.109669
    Oben rechts KachelX + 1 22715 KachelY 47694 -0.96381930 -1.10147152 -55.222778 -63.109669
    Unten links KachelX 22714 KachelY + 1 47695 -0.96391518 -1.10151488 -55.228272 -63.112154
    Unten rechts KachelX + 1 22715 KachelY + 1 47695 -0.96381930 -1.10151488 -55.222778 -63.112154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10147152--1.10151488) × R
    4.33600000000478e-05 × 6371000     		dl = 276.246560000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10147152--1.10151488) × R
    4.33600000000478e-05 × 6371000     		dr = 276.246560000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96391518--0.96381930) × cos(-1.10147152) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.452284201342508 × 6371000     		do = 276.278473770508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96391518--0.96381930) × cos(-1.10151488) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.45224552926632 × 6371000     		du = 276.254850875534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10147152)-sin(-1.10151488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452284201342508-0.45224552926632)×R²
    abs(-0.96381930--0.96391518)×3.86720761884063e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.86720761884063e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.86720761884063e-05×40589641000000     		ar = 76317.7151217119m²