Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22713 / 47498
↖ ↑ ↗
← S 62.618615°
W 55.233765°		 ← 280.91 m → S 62.618615°
W 55.228272°		 →
↑
280.90 m
↓
↑
280.90 m
↓
S 62.621141°
W 55.233765°		 ← 280.88 m →
78 903 m²		 S 62.621141°
W 55.228272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346580505371094 y=0.724769592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346580505371094 × 216)
    floor (0.346580505371094 × 65536)
    floor (22713.5)     		tx = 22713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724769592285156 × 216)
    floor (0.724769592285156 × 65536)
    floor (47498.5)     		ty = 47498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22713 / 47498 ti = "16/22713/47498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22713/47498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22713 ÷ 216
    22713 ÷ 65536     		x = 0.346572875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47498 ÷ 216
    47498 ÷ 65536     		y = 0.724761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346572875976562 × 2 - 1) × π
    -0.306854248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96401105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.44952392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.41222106280685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96401105} λ = -0.96401105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41222106280685))-π/2
    2×atan(0.243601627336148)-π/2
    2×0.238947658664604-π/2
    0.477895317329208-1.57079632675     		φ = -1.09290101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96401105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.233765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09290101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.618615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22713 KachelY 47498 -0.96401105 -1.09290101 -55.233765 -62.618615
    Oben rechts KachelX + 1 22714 KachelY 47498 -0.96391518 -1.09290101 -55.228272 -62.618615
    Unten links KachelX 22713 KachelY + 1 47499 -0.96401105 -1.09294510 -55.233765 -62.621141
    Unten rechts KachelX + 1 22714 KachelY + 1 47499 -0.96391518 -1.09294510 -55.228272 -62.621141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09290101--1.09294510) × R
    4.40899999998301e-05 × 6371000     		dl = 280.897389998918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09290101--1.09294510) × R
    4.40899999998301e-05 × 6371000     		dr = 280.897389998918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96401105--0.96391518) × cos(-1.09290101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459911310833511 × 6371000     		do = 280.908203941771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96401105--0.96391518) × cos(-1.09294510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459872160015989 × 6371000     		du = 280.884291101243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09290101)-sin(-1.09294510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459911310833511-0.459872160015989)×R²
    abs(-0.96391518--0.96401105)×3.91508175222599e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91508175222599e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91508175222599e-05×40589641000000     		ar = 78903.0228020347m²