Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22710 / 47443
↖ ↑ ↗
← S 62.479340°
W 55.250244°		 ← 282.23 m → S 62.479340°
W 55.244751°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
S 62.481877°
W 55.250244°		 ← 282.20 m →
79 633 m²		 S 62.481877°
W 55.244751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346534729003906 y=0.723930358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346534729003906 × 216)
    floor (0.346534729003906 × 65536)
    floor (22710.5)     		tx = 22710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723930358886719 × 216)
    floor (0.723930358886719 × 65536)
    floor (47443.5)     		ty = 47443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22710 / 47443 ti = "16/22710/47443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22710/47443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22710 ÷ 216
    22710 ÷ 65536     		x = 0.346527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47443 ÷ 216
    47443 ÷ 65536     		y = 0.723922729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.30694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96429867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723922729492188 × 2 - 1) × π
    -0.447845458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.40694800384865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96429867} λ = -0.96429867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40694800384865))-π/2
    2×atan(0.244889545729989)-π/2
    2×0.240163070437162-π/2
    0.480326140874324-1.57079632675     		φ = -1.09047019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96429867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09047019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.479340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22710 KachelY 47443 -0.96429867 -1.09047019 -55.250244 -62.479340
    Oben rechts KachelX + 1 22711 KachelY 47443 -0.96420280 -1.09047019 -55.244751 -62.479340
    Unten links KachelX 22710 KachelY + 1 47444 -0.96429867 -1.09051448 -55.250244 -62.481877
    Unten rechts KachelX + 1 22711 KachelY + 1 47444 -0.96420280 -1.09051448 -55.244751 -62.481877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09047019--1.09051448) × R
    4.42899999999469e-05 × 6371000     		dl = 282.171589999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09047019--1.09051448) × R
    4.42899999999469e-05 × 6371000     		dr = 282.171589999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96429867--0.96420280) × cos(-1.09047019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46206843265894 × 6371000     		do = 282.225747571143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96429867--0.96420280) × cos(-1.09051448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.46202915387293 × 6371000     		du = 282.201756569027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09047019)-sin(-1.09051448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46206843265894-0.46202915387293)×R²
    abs(-0.96420280--0.96429867)×3.92787860106769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92787860106769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92787860106769e-05×40589641000000     		ar = 79632.7031543406m²