Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2271 / 6596
↖ ↑ ↗
← S 73.277353°
W 80.200195°		 ← 1 406.04 m → S 73.277353°
W 80.156250°		 →
↑
1 405.51 m
↓
↑
1 405.51 m
↓
S 73.289993°
W 80.200195°		 ← 1 405 m →
1 975 466 m²		 S 73.289993°
W 80.156250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27728271484375 y=0.80523681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27728271484375 × 213)
    floor (0.27728271484375 × 8192)
    floor (2271.5)     		tx = 2271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.80523681640625 × 213)
    floor (0.80523681640625 × 8192)
    floor (6596.5)     		ty = 6596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2271 / 6596 ti = "13/2271/6596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2271/6596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2271 ÷ 213
    2271 ÷ 8192     		x = 0.2772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6596 ÷ 213
    6596 ÷ 8192     		y = 0.80517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.39975747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80517578125 × 2 - 1) × π
    -0.6103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.91747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.39975747} λ = -1.39975747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.91747598480225))-π/2
    2×atan(0.14697746771503)-π/2
    2×0.145932623145135-π/2
    0.291865246290271-1.57079632675     		φ = -1.27893108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.39975747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.200195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27893108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -73.277353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2271 KachelY 6596 -1.39975747 -1.27893108 -80.200195 -73.277353
    Oben rechts KachelX + 1 2272 KachelY 6596 -1.39899048 -1.27893108 -80.156250 -73.277353
    Unten links KachelX 2271 KachelY + 1 6597 -1.39975747 -1.27915169 -80.200195 -73.289993
    Unten rechts KachelX + 1 2272 KachelY + 1 6597 -1.39899048 -1.27915169 -80.156250 -73.289993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27893108--1.27915169) × R
    0.000220609999999954 × 6371000     		dl = 1405.50630999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27893108--1.27915169) × R
    0.000220609999999954 × 6371000     		dr = 1405.50630999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.39975747--1.39899048) × cos(-1.27893108) × R
    0.000766990000000023 × 0.287739087951381 × 6371000     		do = 1406.03512254518m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.39975747--1.39899048) × cos(-1.27915169) × R
    0.000766990000000023 × 0.287527800804518 × 6371000     		du = 1405.00266931978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27893108)-sin(-1.27915169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287739087951381-0.287527800804518)×R²
    abs(-1.39899048--1.39975747)×0.000211287146862527×R²
    0.000766990000000023×0.000211287146862527×6371000²
    0.000766990000000023×0.000211287146862527×40589641000000     		ar = 1975465.68507019m²