Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22706 / 47501
↖ ↑ ↗
← S 62.626193°
W 55.272217°		 ← 280.87 m → S 62.626193°
W 55.266723°		 →
↑
280.83 m
↓
↑
280.83 m
↓
S 62.628719°
W 55.272217°		 ← 280.84 m →
78 873 m²		 S 62.628719°
W 55.266723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346473693847656 y=0.724815368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346473693847656 × 216)
    floor (0.346473693847656 × 65536)
    floor (22706.5)     		tx = 22706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724815368652344 × 216)
    floor (0.724815368652344 × 65536)
    floor (47501.5)     		ty = 47501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22706 / 47501 ti = "16/22706/47501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22706/47501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22706 ÷ 216
    22706 ÷ 65536     		x = 0.346466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47501 ÷ 216
    47501 ÷ 65536     		y = 0.724807739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.30706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96468217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724807739257812 × 2 - 1) × π
    -0.449615478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41250868420457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96468217} λ = -0.96468217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41250868420457))-π/2
    2×atan(0.243531572370743)-π/2
    2×0.238881526943008-π/2
    0.477763053886016-1.57079632675     		φ = -1.09303327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96468217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.272217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09303327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.626193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22706 KachelY 47501 -0.96468217 -1.09303327 -55.272217 -62.626193
    Oben rechts KachelX + 1 22707 KachelY 47501 -0.96458629 -1.09303327 -55.266723 -62.626193
    Unten links KachelX 22706 KachelY + 1 47502 -0.96468217 -1.09307735 -55.272217 -62.628719
    Unten rechts KachelX + 1 22707 KachelY + 1 47502 -0.96458629 -1.09307735 -55.266723 -62.628719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09303327--1.09307735) × R
    4.40799999998909e-05 × 6371000     		dl = 280.833679999305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09303327--1.09307735) × R
    4.40799999998909e-05 × 6371000     		dr = 280.833679999305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96468217--0.96458629) × cos(-1.09303327) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.459793864579402 × 6371000     		do = 280.865762673388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96468217--0.96458629) × cos(-1.09307735) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.459754719960895 × 6371000     		du = 280.841851125239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09303327)-sin(-1.09307735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459793864579402-0.459754719960895)×R²
    abs(-0.96458629--0.96468217)×3.91446185070699e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.91446185070699e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.91446185070699e-05×40589641000000     		ar = 78873.2081464437m²