Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22705 / 47217
↖ ↑ ↗
← S 61.900165°
W 55.277710°		 ← 287.69 m → S 61.900165°
W 55.272217°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
S 61.902752°
W 55.277710°		 ← 287.66 m →
82 750 m²		 S 61.902752°
W 55.272217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346458435058594 y=0.720481872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346458435058594 × 216)
    floor (0.346458435058594 × 65536)
    floor (22705.5)     		tx = 22705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720481872558594 × 216)
    floor (0.720481872558594 × 65536)
    floor (47217.5)     		ty = 47217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22705 / 47217 ti = "16/22705/47217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22705/47217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22705 ÷ 216
    22705 ÷ 65536     		x = 0.346450805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47217 ÷ 216
    47217 ÷ 65536     		y = 0.720474243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346450805664062 × 2 - 1) × π
    -0.307098388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96477804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720474243164062 × 2 - 1) × π
    -0.440948486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38528052522038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96477804} λ = -0.96477804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38528052522038))-π/2
    2×atan(0.250253587501212)-π/2
    2×0.245217319471646-π/2
    0.490434638943293-1.57079632675     		φ = -1.08036169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96477804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.277710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08036169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.900165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22705 KachelY 47217 -0.96477804 -1.08036169 -55.277710 -61.900165
    Oben rechts KachelX + 1 22706 KachelY 47217 -0.96468217 -1.08036169 -55.272217 -61.900165
    Unten links KachelX 22705 KachelY + 1 47218 -0.96477804 -1.08040684 -55.277710 -61.902752
    Unten rechts KachelX + 1 22706 KachelY + 1 47218 -0.96468217 -1.08040684 -55.272217 -61.902752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08036169--1.08040684) × R
    4.51500000000493e-05 × 6371000     		dl = 287.650650000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08036169--1.08040684) × R
    4.51500000000493e-05 × 6371000     		dr = 287.650650000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96477804--0.96468217) × cos(-1.08036169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471009338032016 × 6371000     		do = 287.686743225745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96477804--0.96468217) × cos(-1.08040684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.470969509462637 × 6371000     		du = 287.662416422671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08036169)-sin(-1.08040684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471009338032016-0.470969509462637)×R²
    abs(-0.96468217--0.96477804)×3.98285693793965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98285693793965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98285693793965e-05×40589641000000     		ar = 82749.7798889354m²