Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22704 / 47218
↖ ↑ ↗
← S 61.902752°
W 55.283203°		 ← 287.69 m → S 61.902752°
W 55.277710°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
S 61.905340°
W 55.283203°		 ← 287.67 m →
82 770 m²		 S 61.905340°
W 55.277710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346443176269531 y=0.720497131347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346443176269531 × 216)
    floor (0.346443176269531 × 65536)
    floor (22704.5)     		tx = 22704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720497131347656 × 216)
    floor (0.720497131347656 × 65536)
    floor (47218.5)     		ty = 47218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22704 / 47218 ti = "16/22704/47218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22704/47218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22704 ÷ 216
    22704 ÷ 65536     		x = 0.346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47218 ÷ 216
    47218 ÷ 65536     		y = 0.720489501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.30712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96487392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.44097900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38537639901962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96487392} λ = -0.96487392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38537639901962))-π/2
    2×atan(0.250229595889107)-π/2
    2×0.245194741698954-π/2
    0.490389483397908-1.57079632675     		φ = -1.08040684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96487392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08040684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.902752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22704 KachelY 47218 -0.96487392 -1.08040684 -55.283203 -61.902752
    Oben rechts KachelX + 1 22705 KachelY 47218 -0.96477804 -1.08040684 -55.277710 -61.902752
    Unten links KachelX 22704 KachelY + 1 47219 -0.96487392 -1.08045200 -55.283203 -61.905340
    Unten rechts KachelX + 1 22705 KachelY + 1 47219 -0.96477804 -1.08045200 -55.277710 -61.905340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08040684--1.08045200) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08040684--1.08045200) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96487392--0.96477804) × cos(-1.08040684) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.470969509462637 × 6371000     		do = 287.69242189027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96487392--0.96477804) × cos(-1.08045200) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.470929671111468 × 6371000     		du = 287.668086574498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08040684)-sin(-1.08045200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470969509462637-0.470929671111468)×R²
    abs(-0.96477804--0.96487392)×3.9838351168775e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.9838351168775e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.9838351168775e-05×40589641000000     		ar = 82769.740245271m²