Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22704 / 47216
↖ ↑ ↗
← S 61.897578°
W 55.283203°		 ← 287.74 m → S 61.897578°
W 55.277710°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
S 61.900165°
W 55.283203°		 ← 287.72 m →
82 784 m²		 S 61.900165°
W 55.277710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346443176269531 y=0.720466613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346443176269531 × 216)
    floor (0.346443176269531 × 65536)
    floor (22704.5)     		tx = 22704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720466613769531 × 216)
    floor (0.720466613769531 × 65536)
    floor (47216.5)     		ty = 47216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22704 / 47216 ti = "16/22704/47216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22704/47216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22704 ÷ 216
    22704 ÷ 65536     		x = 0.346435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47216 ÷ 216
    47216 ÷ 65536     		y = 0.720458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.30712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96487392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.44091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.38518465142114
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96487392} λ = -0.96487392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38518465142114))-π/2
    2×atan(0.250277581413595)-π/2
    2×0.245239899153889-π/2
    0.490479798307778-1.57079632675     		φ = -1.08031653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96487392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.283203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08031653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.897578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22704 KachelY 47216 -0.96487392 -1.08031653 -55.283203 -61.897578
    Oben rechts KachelX + 1 22705 KachelY 47216 -0.96477804 -1.08031653 -55.277710 -61.897578
    Unten links KachelX 22704 KachelY + 1 47217 -0.96487392 -1.08036169 -55.283203 -61.900165
    Unten rechts KachelX + 1 22705 KachelY + 1 47217 -0.96477804 -1.08036169 -55.277710 -61.900165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08031653--1.08036169) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08031653--1.08036169) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96487392--0.96477804) × cos(-1.08031653) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.471049174462302 × 6371000     		do = 287.74108537322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96487392--0.96477804) × cos(-1.08036169) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.471009338032016 × 6371000     		du = 287.716751230822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08031653)-sin(-1.08036169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471049174462302-0.471009338032016)×R²
    abs(-0.96477804--0.96487392)×3.98364302857113e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.98364302857113e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.98364302857113e-05×40589641000000     		ar = 82783.7415970552m²