Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22703 / 47485
↖ ↑ ↗
← S 62.585754°
W 55.288696°		 ← 281.22 m → S 62.585754°
W 55.283203°		 →
↑
281.22 m
↓
↑
281.22 m
↓
S 62.588283°
W 55.288696°		 ← 281.20 m →
79 080 m²		 S 62.588283°
W 55.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346427917480469 y=0.724571228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346427917480469 × 216)
    floor (0.346427917480469 × 65536)
    floor (22703.5)     		tx = 22703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724571228027344 × 216)
    floor (0.724571228027344 × 65536)
    floor (47485.5)     		ty = 47485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22703 / 47485 ti = "16/22703/47485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22703/47485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22703 ÷ 216
    22703 ÷ 65536     		x = 0.346420288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47485 ÷ 216
    47485 ÷ 65536     		y = 0.724563598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346420288085938 × 2 - 1) × π
    -0.307159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96496979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724563598632812 × 2 - 1) × π
    -0.449127197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41097470341673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96496979} λ = -0.96496979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41097470341673))-π/2
    2×atan(0.243905431797271)-π/2
    2×0.239234424695691-π/2
    0.478468849391382-1.57079632675     		φ = -1.09232748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96496979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.288696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09232748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.585754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22703 KachelY 47485 -0.96496979 -1.09232748 -55.288696 -62.585754
    Oben rechts KachelX + 1 22704 KachelY 47485 -0.96487392 -1.09232748 -55.283203 -62.585754
    Unten links KachelX 22703 KachelY + 1 47486 -0.96496979 -1.09237162 -55.288696 -62.588283
    Unten rechts KachelX + 1 22704 KachelY + 1 47486 -0.96487392 -1.09237162 -55.283203 -62.588283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09232748--1.09237162) × R
    4.41399999999703e-05 × 6371000     		dl = 281.215939999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09232748--1.09237162) × R
    4.41399999999703e-05 × 6371000     		dr = 281.215939999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96496979--0.96487392) × cos(-1.09232748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460420509648828 × 6371000     		do = 281.219216350665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96496979--0.96487392) × cos(-1.09237162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460381326080936 × 6371000     		du = 281.195283506611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09232748)-sin(-1.09237162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460420509648828-0.460381326080936)×R²
    abs(-0.96487392--0.96496979)×3.91835678926755e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91835678926755e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91835678926755e-05×40589641000000     		ar = 79079.9611361629m²