Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22703 / 47215
↖ ↑ ↗
← S 61.894990°
W 55.288696°		 ← 287.74 m → S 61.894990°
W 55.283203°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
S 61.897578°
W 55.288696°		 ← 287.71 m →
82 782 m²		 S 61.897578°
W 55.283203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346427917480469 y=0.720451354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346427917480469 × 216)
    floor (0.346427917480469 × 65536)
    floor (22703.5)     		tx = 22703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720451354980469 × 216)
    floor (0.720451354980469 × 65536)
    floor (47215.5)     		ty = 47215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22703 / 47215 ti = "16/22703/47215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22703/47215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22703 ÷ 216
    22703 ÷ 65536     		x = 0.346420288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47215 ÷ 216
    47215 ÷ 65536     		y = 0.720443725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346420288085938 × 2 - 1) × π
    -0.307159423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96496979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720443725585938 × 2 - 1) × π
    -0.440887451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.3850887776219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96496979} λ = -0.96496979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.3850887776219))-π/2
    2×atan(0.250301577626475)-π/2
    2×0.245262480745797-π/2
    0.490524961491595-1.57079632675     		φ = -1.08027137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96496979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.288696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08027137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.894990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22703 KachelY 47215 -0.96496979 -1.08027137 -55.288696 -61.894990
    Oben rechts KachelX + 1 22704 KachelY 47215 -0.96487392 -1.08027137 -55.283203 -61.894990
    Unten links KachelX 22703 KachelY + 1 47216 -0.96496979 -1.08031653 -55.288696 -61.897578
    Unten rechts KachelX + 1 22704 KachelY + 1 47216 -0.96487392 -1.08031653 -55.283203 -61.897578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08027137--1.08031653) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08027137--1.08031653) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96496979--0.96487392) × cos(-1.08027137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471089009931918 × 6371000     		do = 287.735405847818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96496979--0.96487392) × cos(-1.08031653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471049174462302 × 6371000     		du = 287.711074830164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08027137)-sin(-1.08031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471089009931918-0.471049174462302)×R²
    abs(-0.96487392--0.96496979)×3.98354696159453e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98354696159453e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98354696159453e-05×40589641000000     		ar = 82782.1079651672m²