Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22702 / 47486
↖ ↑ ↗
← S 62.588283°
W 55.294189°		 ← 281.20 m → S 62.588283°
W 55.288696°		 →
↑
281.15 m
↓
↑
281.15 m
↓
S 62.590812°
W 55.294189°		 ← 281.17 m →
79 055 m²		 S 62.590812°
W 55.288696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346412658691406 y=0.724586486816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346412658691406 × 216)
    floor (0.346412658691406 × 65536)
    floor (22702.5)     		tx = 22702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724586486816406 × 216)
    floor (0.724586486816406 × 65536)
    floor (47486.5)     		ty = 47486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22702 / 47486 ti = "16/22702/47486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22702/47486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22702 ÷ 216
    22702 ÷ 65536     		x = 0.346405029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47486 ÷ 216
    47486 ÷ 65536     		y = 0.724578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346405029296875 × 2 - 1) × π
    -0.30718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.96506566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.44915771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41107057721597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96506566} λ = -0.96506566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41107057721597))-π/2
    2×atan(0.243882048777796)-π/2
    2×0.239212354503014-π/2
    0.478424709006027-1.57079632675     		φ = -1.09237162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96506566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.294189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09237162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.588283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22702 KachelY 47486 -0.96506566 -1.09237162 -55.294189 -62.588283
    Oben rechts KachelX + 1 22703 KachelY 47486 -0.96496979 -1.09237162 -55.288696 -62.588283
    Unten links KachelX 22702 KachelY + 1 47487 -0.96506566 -1.09241575 -55.294189 -62.590812
    Unten rechts KachelX + 1 22703 KachelY + 1 47487 -0.96496979 -1.09241575 -55.288696 -62.590812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09237162--1.09241575) × R
    4.41300000000311e-05 × 6371000     		dl = 281.152230000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09237162--1.09241575) × R
    4.41300000000311e-05 × 6371000     		dr = 281.152230000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96506566--0.96496979) × cos(-1.09237162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460381326080936 × 6371000     		do = 281.195283506611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96506566--0.96496979) × cos(-1.09241575) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460342150493479 × 6371000     		du = 281.171355536911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09237162)-sin(-1.09241575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460381326080936-0.460342150493479)×R²
    abs(-0.96496979--0.96506566)×3.91755874561417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91755874561417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91755874561417e-05×40589641000000     		ar = 79055.3173351764m²