Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2270 / 6413
↖ ↑ ↗
← S 70.801366°
W 80.244141°		 ← 1 606.89 m → S 70.801366°
W 80.200195°		 →
↑
1 606.26 m
↓
↑
1 606.26 m
↓
S 70.815812°
W 80.244141°		 ← 1 605.73 m →
2 580 150 m²		 S 70.815812°
W 80.200195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27716064453125 y=0.78289794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27716064453125 × 213)
    floor (0.27716064453125 × 8192)
    floor (2270.5)     		tx = 2270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78289794921875 × 213)
    floor (0.78289794921875 × 8192)
    floor (6413.5)     		ty = 6413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2270 / 6413 ti = "13/2270/6413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2270/6413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2270 ÷ 213
    2270 ÷ 8192     		x = 0.277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6413 ÷ 213
    6413 ÷ 8192     		y = 0.7828369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.44580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.40052446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7828369140625 × 2 - 1) × π
    -0.565673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77711674271472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40052446} λ = -1.40052446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77711674271472))-π/2
    2×atan(0.169125076068461)-π/2
    2×0.167539685559188-π/2
    0.335079371118377-1.57079632675     		φ = -1.23571696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40052446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.244141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23571696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.801366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2270 KachelY 6413 -1.40052446 -1.23571696 -80.244141 -70.801366
    Oben rechts KachelX + 1 2271 KachelY 6413 -1.39975747 -1.23571696 -80.200195 -70.801366
    Unten links KachelX 2270 KachelY + 1 6414 -1.40052446 -1.23596908 -80.244141 -70.815812
    Unten rechts KachelX + 1 2271 KachelY + 1 6414 -1.39975747 -1.23596908 -80.200195 -70.815812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23571696--1.23596908) × R
    0.000252120000000078 × 6371000     		dl = 1606.2565200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23571696--1.23596908) × R
    0.000252120000000078 × 6371000     		dr = 1606.2565200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40052446--1.39975747) × cos(-1.23571696) × R
    0.000766990000000023 × 0.328844123657694 × 6371000     		do = 1606.8946037093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40052446--1.39975747) × cos(-1.23596908) × R
    0.000766990000000023 × 0.328606015060954 × 6371000     		du = 1605.73108764904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23571696)-sin(-1.23596908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328844123657694-0.328606015060954)×R²
    abs(-1.39975747--1.40052446)×0.000238108596740783×R²
    0.000766990000000023×0.000238108596740783×6371000²
    0.000766990000000023×0.000238108596740783×40589641000000     		ar = 2580150.49520011m²