Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2270 / 1773
↖ ↑ ↗
← N 80.249670°
W130.122071°		 ← 413.78 m → N 80.249670°
W130.100098°		 →
↑
413.86 m
↓
↑
413.86 m
↓
N 80.245948°
W130.122071°		 ← 413.94 m →
171 280 m²		 N 80.245948°
W130.100098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138580322265625 y=0.108245849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138580322265625 × 214)
    floor (0.138580322265625 × 16384)
    floor (2270.5)     		tx = 2270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108245849609375 × 214)
    floor (0.108245849609375 × 16384)
    floor (1773.5)     		ty = 1773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2270 / 1773 ti = "14/2270/1773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2270/1773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2270 ÷ 214
    2270 ÷ 16384     		x = 0.1385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1773 ÷ 214
    1773 ÷ 16384     		y = 0.10821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.27105856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10821533203125 × 2 - 1) × π
    0.7835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.46165566928912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27105856} λ = -2.27105856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46165566928912))-π/2
    2×atan(11.7242068886936)-π/2
    2×1.48570864968426-π/2
    2.97141729936853-1.57079632675     		φ = 1.40062097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27105856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.122071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40062097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.249670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2270 KachelY 1773 -2.27105856 1.40062097 -130.122071 80.249670
    Oben rechts KachelX + 1 2271 KachelY 1773 -2.27067506 1.40062097 -130.100098 80.249670
    Unten links KachelX 2270 KachelY + 1 1774 -2.27105856 1.40055601 -130.122071 80.245948
    Unten rechts KachelX + 1 2271 KachelY + 1 1774 -2.27067506 1.40055601 -130.100098 80.245948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40062097-1.40055601) × R
    6.49600000000028e-05 × 6371000     		dl = 413.860160000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40062097-1.40055601) × R
    6.49600000000028e-05 × 6371000     		dr = 413.860160000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27105856--2.27067506) × cos(1.40062097) × R
    0.000383500000000314 × 0.169355175450755 × 6371000     		do = 413.781859042897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27105856--2.27067506) × cos(1.40055601) × R
    0.000383500000000314 × 0.169419196751676 × 6371000     		du = 413.938280910978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40062097)-sin(1.40055601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169355175450755-0.169419196751676)×R²
    abs(-2.27067506--2.27105856)×6.40213009203139e-05×R²
    0.000383500000000314×6.40213009203139e-05×6371000²
    0.000383500000000314×6.40213009203139e-05×40589641000000     		ar = 171280.194838021m²