Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 227 / 228
↖ ↑ ↗
← N 70.140365°
W100.195313°		 ← 13.280 km → N 70.140365°
W 99.843750°		 →
↑
13.319 km
↓
↑
13.319 km
↓
N 70.020587°
W100.195313°		 ← 13.357 km →
177.386 km²		 N 70.020587°
W 99.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22216796875 y=0.22314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22216796875 × 210)
    floor (0.22216796875 × 1024)
    floor (227.5)     		tx = 227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22314453125 × 210)
    floor (0.22314453125 × 1024)
    floor (228.5)     		ty = 228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 227 / 228 ti = "10/227/228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/227/228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 227 ÷ 210
    227 ÷ 1024     		x = 0.2216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 228 ÷ 210
    228 ÷ 1024     		y = 0.22265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2216796875 × 2 - 1) × π
    -0.556640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.74873810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22265625 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74873810} λ = -1.74873810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74260217498828))-π/2
    2×atan(5.71218821322089)-π/2
    2×1.39748831093691-π/2
    2.79497662187382-1.57079632675     		φ = 1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74873810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -100.195313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 227 KachelY 228 -1.74873810 1.22418030 -100.195313 70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 228 KachelY 228 -1.74260217 1.22418030 -99.843750 70.140365
    Unten links KachelX 227 KachelY + 1 229 -1.74873810 1.22208979 -100.195313 70.020587
    Unten rechts KachelX + 1 228 KachelY + 1 229 -1.74260217 1.22208979 -99.843750 70.020587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22418030-1.22208979) × R
    0.00209050999999993 × 6371000     		dl = 13318.6392099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22418030-1.22208979) × R
    0.00209050999999993 × 6371000     		dr = 13318.6392099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74873810--1.74260217) × cos(1.22418030) × R
    0.0061359299999999 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 13280.2218617779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74873810--1.74260217) × cos(1.22208979) × R
    0.0061359299999999 × 0.341682476912264 × 6371000     		du = 13357.0548145293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22418030)-sin(1.22208979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.341682476912264)×R²
    abs(-1.74260217--1.74873810)×0.00196543878640104×R²
    0.0061359299999999×0.00196543878640104×6371000²
    0.0061359299999999×0.00196543878640104×40589641000000     		ar = 177386203.395906m²