Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 227 / 114
↖ ↑ ↗
← N 70.140365°
W 20.390625°		 ← 26.560 km → N 70.140365°
W 19.687500°		 →
↑
26.714 km
↓
↑
26.714 km
↓
N 69.900118°
W 20.390625°		 ← 26.869 km →
713.657 km²		 N 69.900118°
W 19.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4443359375 y=0.2236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4443359375 × 29)
    floor (0.4443359375 × 512)
    floor (227.5)     		tx = 227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2236328125 × 29)
    floor (0.2236328125 × 512)
    floor (114.5)     		ty = 114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 227 / 114 ti = "9/227/114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/227/114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 227 ÷ 29
    227 ÷ 512     		x = 0.443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114 ÷ 29
    114 ÷ 512     		y = 0.22265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.443359375 × 2 - 1) × π
    -0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22265625 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35588354} λ = -0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74260217498828))-π/2
    2×atan(5.71218821322089)-π/2
    2×1.39748831093691-π/2
    2.79497662187382-1.57079632675     		φ = 1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 227 KachelY 114 -0.35588354 1.22418030 -20.390625 70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 228 KachelY 114 -0.34361170 1.22418030 -19.687500 70.140365
    Unten links KachelX 227 KachelY + 1 115 -0.35588354 1.21998720 -20.390625 69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 228 KachelY + 1 115 -0.34361170 1.21998720 -19.687500 69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22418030-1.21998720) × R
    0.00419309999999995 × 6371000     		dl = 26714.2400999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22418030-1.21998720) × R
    0.00419309999999995 × 6371000     		dr = 26714.2400999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35588354--0.34361170) × cos(1.22418030) × R
    0.01227184 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 26560.4004368112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35588354--0.34361170) × cos(1.21998720) × R
    0.01227184 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 26868.5019412391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22418030)-sin(1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.343657766759656)×R²
    abs(-0.34361170--0.35588354)×0.00394072863379263×R²
    0.01227184×0.00394072863379263×6371000²
    0.01227184×0.00394072863379263×40589641000000     		ar = 713657308.835726m²