Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22697 / 47496
↖ ↑ ↗
← S 62.613562°
W 55.321655°		 ← 280.96 m → S 62.613562°
W 55.316162°		 →
↑
280.90 m
↓
↑
280.90 m
↓
S 62.616089°
W 55.321655°		 ← 280.93 m →
78 916 m²		 S 62.616089°
W 55.316162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346336364746094 y=0.724739074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346336364746094 × 216)
    floor (0.346336364746094 × 65536)
    floor (22697.5)     		tx = 22697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724739074707031 × 216)
    floor (0.724739074707031 × 65536)
    floor (47496.5)     		ty = 47496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22697 / 47496 ti = "16/22697/47496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22697/47496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22697 ÷ 216
    22697 ÷ 65536     		x = 0.346328735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47496 ÷ 216
    47496 ÷ 65536     		y = 0.7247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346328735351562 × 2 - 1) × π
    -0.307342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96554503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7247314453125 × 2 - 1) × π
    -0.449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41202931520837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96554503} λ = -0.96554503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41202931520837))-π/2
    2×atan(0.243648341841729)-π/2
    2×0.238991755863277-π/2
    0.477983511726553-1.57079632675     		φ = -1.09281282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96554503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.321655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09281282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.613562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22697 KachelY 47496 -0.96554503 -1.09281282 -55.321655 -62.613562
    Oben rechts KachelX + 1 22698 KachelY 47496 -0.96544916 -1.09281282 -55.316162 -62.613562
    Unten links KachelX 22697 KachelY + 1 47497 -0.96554503 -1.09285691 -55.321655 -62.616089
    Unten rechts KachelX + 1 22698 KachelY + 1 47497 -0.96544916 -1.09285691 -55.316162 -62.616089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09281282--1.09285691) × R
    4.40900000000521e-05 × 6371000     		dl = 280.897390000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09281282--1.09285691) × R
    4.40900000000521e-05 × 6371000     		dr = 280.897390000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96554503--0.96544916) × cos(-1.09281282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459989618665619 × 6371000     		do = 280.956033407918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96554503--0.96544916) × cos(-1.09285691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459950469636445 × 6371000     		du = 280.932121659691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09281282)-sin(-1.09285691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459989618665619-0.459950469636445)×R²
    abs(-0.96544916--0.96554503)×3.91490291745122e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91490291745122e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91490291745122e-05×40589641000000     		ar = 78916.4581284945m²