Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22696 / 47606
↖ ↑ ↗
← S 62.890212°
W 55.327149°		 ← 278.36 m → S 62.890212°
W 55.321655°		 →
↑
278.35 m
↓
↑
278.35 m
↓
S 62.892715°
W 55.327149°		 ← 278.34 m →
77 479 m²		 S 62.892715°
W 55.321655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346321105957031 y=0.726417541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346321105957031 × 216)
    floor (0.346321105957031 × 65536)
    floor (22696.5)     		tx = 22696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726417541503906 × 216)
    floor (0.726417541503906 × 65536)
    floor (47606.5)     		ty = 47606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22696 / 47606 ti = "16/22696/47606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22696/47606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22696 ÷ 216
    22696 ÷ 65536     		x = 0.3463134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47606 ÷ 216
    47606 ÷ 65536     		y = 0.726409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3463134765625 × 2 - 1) × π
    -0.307373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96564091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.45281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42257543312479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96564091} λ = -0.96564091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42257543312479))-π/2
    2×atan(0.241092299550566)-π/2
    2×0.236577534121532-π/2
    0.473155068243063-1.57079632675     		φ = -1.09764126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96564091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.327149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09764126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.890212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22696 KachelY 47606 -0.96564091 -1.09764126 -55.327149 -62.890212
    Oben rechts KachelX + 1 22697 KachelY 47606 -0.96554503 -1.09764126 -55.321655 -62.890212
    Unten links KachelX 22696 KachelY + 1 47607 -0.96564091 -1.09768495 -55.327149 -62.892715
    Unten rechts KachelX + 1 22697 KachelY + 1 47607 -0.96554503 -1.09768495 -55.321655 -62.892715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09764126--1.09768495) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dl = 278.348990000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09764126--1.09768495) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dr = 278.348990000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96564091--0.96554503) × cos(-1.09764126) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.455696984099358 × 6371000     		do = 278.363177168447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96564091--0.96554503) × cos(-1.09768495) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.45565809366776 × 6371000     		du = 278.339420890748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09764126)-sin(-1.09768495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455696984099358-0.45565809366776)×R²
    abs(-0.96554503--0.96564091)×3.88904315972716e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.88904315972716e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.88904315972716e-05×40589641000000     		ar = 77478.8029624213m²