Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22695 / 47607
↖ ↑ ↗
← S 62.892715°
W 55.332642°		 ← 278.31 m → S 62.892715°
W 55.327149°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
S 62.895218°
W 55.332642°		 ← 278.29 m →
77 446 m²		 S 62.895218°
W 55.327149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346305847167969 y=0.726432800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346305847167969 × 216)
    floor (0.346305847167969 × 65536)
    floor (22695.5)     		tx = 22695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726432800292969 × 216)
    floor (0.726432800292969 × 65536)
    floor (47607.5)     		ty = 47607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22695 / 47607 ti = "16/22695/47607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22695/47607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22695 ÷ 216
    22695 ÷ 65536     		x = 0.346298217773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47607 ÷ 216
    47607 ÷ 65536     		y = 0.726425170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346298217773438 × 2 - 1) × π
    -0.307403564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96573678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726425170898438 × 2 - 1) × π
    -0.452850341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42267130692403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96573678} λ = -0.96573678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42267130692403))-π/2
    2×atan(0.241069186223839)-π/2
    2×0.236555690352986-π/2
    0.473111380705973-1.57079632675     		φ = -1.09768495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96573678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.332642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09768495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.892715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22695 KachelY 47607 -0.96573678 -1.09768495 -55.332642 -62.892715
    Oben rechts KachelX + 1 22696 KachelY 47607 -0.96564091 -1.09768495 -55.327149 -62.892715
    Unten links KachelX 22695 KachelY + 1 47608 -0.96573678 -1.09772863 -55.332642 -62.895218
    Unten rechts KachelX + 1 22696 KachelY + 1 47608 -0.96564091 -1.09772863 -55.327149 -62.895218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09768495--1.09772863) × R
    4.36799999998794e-05 × 6371000     		dl = 278.285279999231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09768495--1.09772863) × R
    4.36799999998794e-05 × 6371000     		dr = 278.285279999231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96573678--0.96564091) × cos(-1.09768495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.45565809366776 × 6371000     		do = 278.310390913776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96573678--0.96564091) × cos(-1.09772863) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.455619211268144 × 6371000     		du = 278.286642019622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09768495)-sin(-1.09772863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45565809366776-0.455619211268144)×R²
    abs(-0.96564091--0.96573678)×3.88823996168575e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.88823996168575e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.88823996168575e-05×40589641000000     		ar = 77446.3805904084m²