Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22694 / 47495
↖ ↑ ↗
← S 62.611035°
W 55.338135°		 ← 280.98 m → S 62.611035°
W 55.332642°		 →
↑
281.02 m
↓
↑
281.02 m
↓
S 62.613562°
W 55.338135°		 ← 280.96 m →
78 959 m²		 S 62.613562°
W 55.332642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346290588378906 y=0.724723815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346290588378906 × 216)
    floor (0.346290588378906 × 65536)
    floor (22694.5)     		tx = 22694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724723815917969 × 216)
    floor (0.724723815917969 × 65536)
    floor (47495.5)     		ty = 47495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22694 / 47495 ti = "16/22694/47495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22694/47495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22694 ÷ 216
    22694 ÷ 65536     		x = 0.346282958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47495 ÷ 216
    47495 ÷ 65536     		y = 0.724716186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346282958984375 × 2 - 1) × π
    -0.30743408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.96583265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.724716186523438 × 2 - 1) × π
    -0.449432373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.41193344140913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96583265} λ = -0.96583265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41193344140913))-π/2
    2×atan(0.243671702453758)-π/2
    2×0.239013807278246-π/2
    0.478027614556492-1.57079632675     		φ = -1.09276871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96583265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.338135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09276871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.611035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22694 KachelY 47495 -0.96583265 -1.09276871 -55.338135 -62.611035
    Oben rechts KachelX + 1 22695 KachelY 47495 -0.96573678 -1.09276871 -55.332642 -62.611035
    Unten links KachelX 22694 KachelY + 1 47496 -0.96583265 -1.09281282 -55.338135 -62.613562
    Unten rechts KachelX + 1 22695 KachelY + 1 47496 -0.96573678 -1.09281282 -55.332642 -62.613562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09276871--1.09281282) × R
    4.41099999999306e-05 × 6371000     		dl = 281.024809999558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09276871--1.09281282) × R
    4.41099999999306e-05 × 6371000     		dr = 281.024809999558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96583265--0.96573678) × cos(-1.09276871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460028784558687 × 6371000     		do = 280.979955456405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96583265--0.96573678) × cos(-1.09281282) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.459989618665619 × 6371000     		du = 280.956033407918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09276871)-sin(-1.09281282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460028784558687-0.459989618665619)×R²
    abs(-0.96573678--0.96583265)×3.91658930677941e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.91658930677941e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.91658930677941e-05×40589641000000     		ar = 78958.977263773m²