Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 22692 / 47476
↖ ↑ ↗
← S 62.562983°
W 55.349121°		 ← 281.43 m → S 62.562983°
W 55.343628°		 →
↑
281.47 m
↓
↑
281.47 m
↓
S 62.565514°
W 55.349121°		 ← 281.41 m →
79 212 m²		 S 62.565514°
W 55.343628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346260070800781 y=0.724433898925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346260070800781 × 216)
    floor (0.346260070800781 × 65536)
    floor (22692.5)     		tx = 22692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724433898925781 × 216)
    floor (0.724433898925781 × 65536)
    floor (47476.5)     		ty = 47476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22692 / 47476 ti = "16/22692/47476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22692/47476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22692 ÷ 216
    22692 ÷ 65536     		x = 0.34625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47476 ÷ 216
    47476 ÷ 65536     		y = 0.72442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.3074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.96602440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.4488525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.41011183922357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96602440} λ = -0.96602440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41011183922357))-π/2
    2×atan(0.244115979885026)-π/2
    2×0.239433140972419-π/2
    0.478866281944838-1.57079632675     		φ = -1.09193004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96602440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09193004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.562983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22692 KachelY 47476 -0.96602440 -1.09193004 -55.349121 -62.562983
    Oben rechts KachelX + 1 22693 KachelY 47476 -0.96592853 -1.09193004 -55.343628 -62.562983
    Unten links KachelX 22692 KachelY + 1 47477 -0.96602440 -1.09197422 -55.349121 -62.565514
    Unten rechts KachelX + 1 22693 KachelY + 1 47477 -0.96592853 -1.09197422 -55.343628 -62.565514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09193004--1.09197422) × R
    4.41799999999493e-05 × 6371000     		dl = 281.470779999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09193004--1.09197422) × R
    4.41799999999493e-05 × 6371000     		dr = 281.470779999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96602440--0.96592853) × cos(-1.09193004) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460773281136429 × 6371000     		do = 281.434684860897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96602440--0.96592853) × cos(-1.09197422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.460734070146916 × 6371000     		du = 281.410735268052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09193004)-sin(-1.09197422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.460773281136429-0.460734070146916)×R²
    abs(-0.96592853--0.96602440)×3.92109895131498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.92109895131498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.92109895131498e-05×40589641000000     		ar = 79212.2697243996m²