Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 22690 / 47445
↖ ↑ ↗
← S 62.484415°
W 55.360107°		 ← 282.21 m → S 62.484415°
W 55.354614°		 →
↑
282.17 m
↓
↑
282.17 m
↓
S 62.486953°
W 55.360107°		 ← 282.18 m →
79 627 m²		 S 62.486953°
W 55.354614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.346229553222656 y=0.723960876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.346229553222656 × 216)
    floor (0.346229553222656 × 65536)
    floor (22690.5)     		tx = 22690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723960876464844 × 216)
    floor (0.723960876464844 × 65536)
    floor (47445.5)     		ty = 47445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 22690 / 47445 ti = "16/22690/47445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/22690/47445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22690 ÷ 216
    22690 ÷ 65536     		x = 0.346221923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47445 ÷ 216
    47445 ÷ 65536     		y = 0.723953247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.346221923828125 × 2 - 1) × π
    -0.30755615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.96621615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.723953247070312 × 2 - 1) × π
    -0.447906494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40713975144713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.96621615} λ = -0.96621615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40713975144713))-π/2
    2×atan(0.244842593249359)-π/2
    2×0.240118773947147-π/2
    0.480237547894294-1.57079632675     		φ = -1.09055878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.96621615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.360107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09055878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.484415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22690 KachelY 47445 -0.96621615 -1.09055878 -55.360107 -62.484415
    Oben rechts KachelX + 1 22691 KachelY 47445 -0.96612027 -1.09055878 -55.354614 -62.484415
    Unten links KachelX 22690 KachelY + 1 47446 -0.96621615 -1.09060307 -55.360107 -62.486953
    Unten rechts KachelX + 1 22691 KachelY + 1 47446 -0.96612027 -1.09060307 -55.354614 -62.486953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09055878--1.09060307) × R
    4.42899999999469e-05 × 6371000     		dl = 282.171589999662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09055878--1.09060307) × R
    4.42899999999469e-05 × 6371000     		dr = 282.171589999662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.96621615--0.96612027) × cos(-1.09055878) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.461989865311749 × 6371000     		do = 282.207192970824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.96621615--0.96612027) × cos(-1.09060307) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.461950584712974 × 6371000     		du = 282.183198358927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09055878)-sin(-1.09060307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461989865311749-0.461950584712974)×R²
    abs(-0.96612027--0.96621615)×3.92805987747269e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.92805987747269e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.92805987747269e-05×40589641000000     		ar = 79627.4670637359m²