Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 2269 / 6538
↖ ↑ ↗
← S 72.528129°
W 80.288086°		 ← 1 467.11 m → S 72.528129°
W 80.244141°		 →
↑
1 466.60 m
↓
↑
1 466.60 m
↓
S 72.541319°
W 80.288086°		 ← 1 466.04 m →
2 150 881 m²		 S 72.541319°
W 80.244141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.27703857421875 y=0.79815673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.27703857421875 × 213)
    floor (0.27703857421875 × 8192)
    floor (2269.5)     		tx = 2269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.79815673828125 × 213)
    floor (0.79815673828125 × 8192)
    floor (6538.5)     		ty = 6538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2269 / 6538 ti = "13/2269/6538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2269/6538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2269 ÷ 213
    2269 ÷ 8192     		x = 0.2769775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6538 ÷ 213
    6538 ÷ 8192     		y = 0.798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2769775390625 × 2 - 1) × π
    -0.446044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.40129145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.798095703125 × 2 - 1) × π
    -0.59619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.87299054195483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.40129145} λ = -1.40129145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.87299054195483))-π/2
    2×atan(0.153663437041983)-π/2
    2×0.152470831357395-π/2
    0.304941662714789-1.57079632675     		φ = -1.26585466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.40129145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.288086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26585466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.528129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2269 KachelY 6538 -1.40129145 -1.26585466 -80.288086 -72.528129
    Oben rechts KachelX + 1 2270 KachelY 6538 -1.40052446 -1.26585466 -80.244141 -72.528129
    Unten links KachelX 2269 KachelY + 1 6539 -1.40129145 -1.26608486 -80.288086 -72.541319
    Unten rechts KachelX + 1 2270 KachelY + 1 6539 -1.40052446 -1.26608486 -80.244141 -72.541319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26585466--1.26608486) × R
    0.000230200000000069 × 6371000     		dl = 1466.60420000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26585466--1.26608486) × R
    0.000230200000000069 × 6371000     		dr = 1466.60420000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.40129145--1.40052446) × cos(-1.26585466) × R
    0.000766990000000023 × 0.300237533748458 × 6371000     		do = 1467.10869406803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.40129145--1.40052446) × cos(-1.26608486) × R
    0.000766990000000023 × 0.300017946194763 × 6371000     		du = 1466.03568096033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26585466)-sin(-1.26608486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.300237533748458-0.300017946194763)×R²
    abs(-1.40052446--1.40129145)×0.000219587553695888×R²
    0.000766990000000023×0.000219587553695888×6371000²
    0.000766990000000023×0.000219587553695888×40589641000000     		ar = 2150880.93930942m²