Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2269 / 2852
↖ ↑ ↗
← N 75.297735°
W130.144043°		 ← 620.08 m → N 75.297735°
W130.122071°		 →
↑
620.15 m
↓
↑
620.15 m
↓
N 75.292158°
W130.144043°		 ← 620.31 m →
384 615 m²		 N 75.292158°
W130.122071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.138519287109375 y=0.174102783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.138519287109375 × 214)
    floor (0.138519287109375 × 16384)
    floor (2269.5)     		tx = 2269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.174102783203125 × 214)
    floor (0.174102783203125 × 16384)
    floor (2852.5)     		ty = 2852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2269 / 2852 ti = "14/2269/2852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2269/2852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2269 ÷ 214
    2269 ÷ 16384     		x = 0.13848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2852 ÷ 214
    2852 ÷ 16384     		y = 0.174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.7230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27144205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.174072265625 × 2 - 1) × π
    0.65185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0478643517688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27144205} λ = -2.27144205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0478643517688))-π/2
    2×atan(7.75132930411761)-π/2
    2×1.44249486500278-π/2
    2.88498973000556-1.57079632675     		φ = 1.31419340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27144205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.144043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31419340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.297735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2269 KachelY 2852 -2.27144205 1.31419340 -130.144043 75.297735
    Oben rechts KachelX + 1 2270 KachelY 2852 -2.27105856 1.31419340 -130.122071 75.297735
    Unten links KachelX 2269 KachelY + 1 2853 -2.27144205 1.31409606 -130.144043 75.292158
    Unten rechts KachelX + 1 2270 KachelY + 1 2853 -2.27105856 1.31409606 -130.122071 75.292158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31419340-1.31409606) × R
    9.73399999999458e-05 × 6371000     		dl = 620.153139999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31419340-1.31409606) × R
    9.73399999999458e-05 × 6371000     		dr = 620.153139999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27144205--2.27105856) × cos(1.31419340) × R
    0.000383489999999931 × 0.253796177338885 × 6371000     		do = 620.078574119715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27144205--2.27105856) × cos(1.31409606) × R
    0.000383489999999931 × 0.253890329003007 × 6371000     		du = 620.308606858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31419340)-sin(1.31409606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253796177338885-0.253890329003007)×R²
    abs(-2.27105856--2.27144205)×9.41516641215778e-05×R²
    0.000383489999999931×9.41516641215778e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.41516641215778e-05×40589641000000     		ar = 384615.002854459m²